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- 2023-12-17 发布
2012届南通市数学学科基地密卷(一)
一、填空题
1、执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是: ▲ ．
While <10
End While
Print “”
2、,,若对应点在第二象限,则m的取值范围为 ▲ ．
3、已知，若函数的最小正周期是2,
则 ▲ ．
4、函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是 ▲ ．
5、已知函数，，则的单调减区间是 ▲ ．
6、在数轴上区间内，任取三个点，则它们的坐标满足不等式：
的概率为 ▲ ．
7、P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM
长度之和的最小值为： ▲ ．
8、定义在上满足:，当时，=，
则= ▲ ．
9、过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，
记，则当最小时 ▲ ．
10、如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个
数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，
如：…，则第行第3个数字是 ▲ ．
11、已知正方形的坐标分别是,,，，动点M满足： 则 ▲ ．
12、“”是“对正实数，”的充要条件，则实数 ▲ ．
13、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列正确命题序号是 ▲ ．
(1)若m∥,n∥,则m∥n， (2)若则
(3)若，且，则；(4)若，，则
14、已知全集，集合，则中最
大的元素是 ▲ ．
二、解答题
15、已知数列满足：.
（Ⅰ）求证：使；
（Ⅱ）求的末位数字.
16、
在如图的多面体中，⊥平面，,，，
，，，是的中点．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：；
(Ⅲ)求多面体的体积.
17、
已知双曲线的两焦点为，为动点，若．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）若，设直线过点，且与轨迹交于、两点，直线与交于点．试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
18、
如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为
（1）设∠CA1O = (rad)，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长。
B
A1
A2
C
O
A3
19、
已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。
（1）求的值；
（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；
（3）令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。
20、
已知函数
(1)求的单调区间；
(2)若关于的不等式对一切都成立，求范围；
(3)某同学发现：总存在正实数使，试问：他的判断是否正确；
若正确，请写出的范围；不正确说明理由．
21、如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.
（Ⅰ）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？
P
N
M
A
B
C
（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置.
22、
已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R，都有f (－x) = f (2＋x)成立，设向量
= ( sinx , 2 ) ，= (2sinx , )，= ( cos2x , 1 )，=(1,2)，
（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0,π]时，求不等式f (·)＞f (·)的解集.
23、（1）（矩阵与变换）求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.
（2） （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为，其中为参数.以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.
以下是答案
一、填空题
1、28
2、
3、－1
4、由于在上是减函数，所以关于的方程在上有两个不同实根。通过换元结合图象可得
5、
6、的实质是点在点之间，故考虑它们的排列顺序可得答案为
7、解析：焦点=,而的最小值是
8、2
9、当离圆最远时最小，此时点坐标为：记，
则，计算得=
10、
，
11、设点的坐标为，∵，∴． 整理，得（），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为两点，所以
12、若则不符合题意，若则于是，亦可转化为二次函数恒成立展开讨论。
13、(3) (4)
14、3
二、解答题
15、解：⑴当
假设当
则当时，
…
其中….
所以
所以；
（2），故的末位数字是7.
16、解：(Ⅰ)证明：∵，∴.
又∵,是的中点， ∴，
∴四边形是平行四边形，∴ .
∵平面，平面，∴平面.
(Ⅱ)证明：∵平面，平面，∴，
又，平面，∴平面.
过作交于，则平面.
∵平面， ∴.
∵，∴四边形平行四边形，∴，
∴，又，
∴四边形为正方形，∴，
又平面，平面,∴⊥平面.
∵平面, ∴.
(Ⅲ) ∵平面，，∴平面，
由（2）知四边形为正方形，∴.
∴，
17、解法一：
（Ⅰ）由题意知：，又∵，∴动点必在以为焦点，
长轴长为4的椭圆，∴，又∵，．
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意，可设直线为：．
取得，直线的方程是
直线的方程是交点为
若，由对称性可知交点为
若点在同一条直线上，则直线只能为．
②以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．
事实上，由，得即，
记，则．
设与交于点由得
设与交于点由得
，
∴，即与重合，
这说明，当变化时，点恒在定直线上．
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为
取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为．
以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．
事实上，由，得即，
记，则．
的方程是的方程是
消去得…………………………………… ①
以下用分析法证明时，①式恒成立。
要证明①式恒成立，只需证明
即证即证……………… ②
∵∴②式恒成立．
这说明，当变化时，点恒在定直线上．
解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由，得
即．
记，则．
的方程是的方程是
由得
即
．
这说明，当变化时，点恒在定直线上．
18、 （Ⅰ）解：在△COA1中，
，，
=
（）
（Ⅱ），
令，则
当时，；时，，
∵在上是增函数
∴当角满足时，y最小，最小为；此时BCm
B
A1
A2
C
O
A3
19、 解：（1）由已知，得， ∴
（2）由得则，
∴，即，
于是有，并且有，
∴即，
而是正整数，则对任意都有，
∴数列是等差数列，其通项公式是。
（3）∵
∴
；
由是正整数可得，故存在最小的正整数M=3，使不等式恒成立。
20、（1）定义域
∴ ∴在递增，递减
（2）由题
∴时， 时，
时，
21、解：（1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
平面ABC的一个法向量为则 （*）
于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，
.
（3）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为
，设平面PMN的一个法向量为，.
由得 ，解得.
令于是由
，
解得的延长线上，且.
22、解；（1）设f(x)图象上的两点为A(－x,y1）、B(2＋x, y2），因为=1
f (－x) = f (2＋x)，所以y1= y2
由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，
∴x≥1时，f(x)是增函数 ；x≤1时，f(x)是减函数。
（2）∵·=（sinx，2）·（2sinx, ）=2sin2x＋1≥1，
·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，
∵f(x)在是[1，+∞）上为增函数，∴f (·)＞f (·)f(2sin2x＋1)＞ f(cos2x＋2)
2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2
cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈z
kπ＋＜x＜kπ＋, k∈z ∵0≤x≤π ∴＜x＜
综上所述，不等式f (·)＞f (·)的解集是：{ x|＜x＜ } 。
23、解：矩阵M的特征多项式为=.
令得矩阵M的特征值为－1和3 .
当
所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.
当
所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.
（2）解：直线l的普通方程为：，设椭圆C上的点到直线l距离为.
∴当时，，当时，.