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- 2023-12-14 发布
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南阳六校2016—2017学年下期第二次联考
高二文科数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 要描述一个工厂某种产品的生产步骤，应用 ( )
A. 程序框图 B. 工序流程图 C. 知识结构图 D. 组织结构图
【答案】B
【解析】试题分析：组织结构图形象地反映了组织内各机构、岗位上下左右相互之间的关系．组织结构图是组织结构的直观反映，也是对该组织功能的一种侧面诠释．
解：∵组织结构图是最常见的表现雇员、职称和群体关系的一种图表，
它形象地反映了组织内各机构、岗位上下左右相互之间的关系．
组织结构图是组织结构的直观反映，也是对该组织功能的一种侧面诠释．
∴要描述一工厂的组成情况，应用组织结构图．
故选D．
点评：本题考查组织结构图，是一个基础题，解题时抓住工序流程图的特点和作用，选出正确的答案，本题不用运算，是一个送分题．
2. 若，其中（为虚数单位），则直线的斜率为 （ ）
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】∵.
∴z=2−2i，a=2，b=−2，
∴k==−1.
故选：A.
3. 已知x与y之间的一组数据:
x
0
1
2
3
y
m
3
5.5
7
已求得关于y与x的线性回归方程为，则m的值为 ( )
A. 1 B. 0.85 C. 0.7 D. 0.5
【答案】D
【解析】∵，
∴这组数据的样本中心点是(,)，
∵关于y与x的线性回归方程yˆ=2.1x+0.85，
∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，
∴m的值为0.5.
故选D.
4. 下列参数方程能与方程表示同一曲线的是（ ）
A. 为参数 B. 为参数
C. 为参数 D. 为参数
【答案】D
【解析】A. ；B. ；C. ；D. ，即 ，故选D.
5. 下列函数中，的最小值为4的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.当时函数无最小值；
B.抛物线开口向下无最小值；
C.，当且仅当时等号成立，方程无解，不成立；
D.,当且仅当时等号成立，满足.
故选D.
点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
6. (1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2;(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是( )
A. (1)与(2)的假设都错误 B. (1)与(2)的假设都正确
C. (1)的假设正确；(2)的假设错误 D. (1)的假设错误；(2)的假设正确
【答案】D
【解析】（1）用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定，所以 的假命题应为 ，故（1）错误.
(2)已知 ，求证方程 的两根的绝对值都小于，根据反证法的定义，可假设 ，故（2）正确.
7. 在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则
事件A 在一次试验中出现的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令事件在一次试验中出现的概率是．由事件至少发生次的概率为，可知事件一次都不发生的概率为，由独立事件同时出现的概率知 ，则．故本题答案选．
8. 命题A：点M的直角坐标是(0,2)；命题B：点M的极坐标是；则命题A是命题B的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】 ，所以将极坐标 化为直角坐标是 ，因为点的直角坐标是，点的极坐标系不唯一，所以命题是命题的必要不充分条件，故选B.
9. 下列说法：
①分类变量A与B的随机变量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大.
②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线
性方程，则的值分别是和0.3.
③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，
，，，则.正确的个数是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】定义①，根据独立性检验的性质知，分类变量与的随机变量 越大，说明“与有关系”的可信度越大，①正确；对于②，由 ，两边取对数，可得 ，令 ，可得 ， ，故②正确；③回归直线方程为中，，，，则，③正确，所以正确命题的个数是，故选D .
10. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为
(参考数据：)
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】B
【解析】当时，输出，，继续循环，当
时，，输出，，继续循环，当时，输出，，结束，故选.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
11. 直线（t为参数）被曲线所截的弦长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将方程，分别化为普通方程
，所以圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，所以弦长.故选A.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
12. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为，其中，传输信息为，，运算规则为：.例如原信息为111，则传输信息为01111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是 （ ）
A. 11010 B. 01100 C. 00011 D. 10111
【答案】D
【解析】选项原信息为，则，所以传输信息为 ，选项正确；选项原信息为，则，所以传输信息为 ，选项正确；选项原信息为，则，所以传输信息为 ，选项正确；选项原信息为，则，所以传输信息为 ，选项错误，故选D.
【方法点睛】本题主要考查新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知为虚数单位，复数的共轭复数为，则________.
【答案】
【解析】因为，所以 ， ，故答案为 .
14. 在极坐标系中，曲线 上任意两点间的距离的最大值为________.
【答案】3
【解析】曲线，化简,.
.
化简得：.
表示半径为的圆，所以任意两点间的距离的最大值为直径3.
15. 若a＞0，b＞0，且＋＝1．则＋的最小值为________.
【答案】8
【解析】由，可得，
当且仅当，因此的最小值为8.
点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
16. 分形几何学是数学家伯努瓦•曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：
若记图乙中第行白圈的个数为，则_________．
【答案】
【解析】根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），第四行的白圈数为2×5+4=14；黑圈数为5+2×4=13，∴第四行的“坐标”为（14，13）；第五行的“坐标”为（41，40），各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，∴可以归纳出第n行的白圈数为（若考生未写建议也给5分）.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数.
⑴若，求的值域；
⑵在⑴的条件下，若存在,使得,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）分三种情况讨论，分别求出函数的取值范围，然后求并集即可得结果；（2）若存在,使得,等价于 ，由（1）可得 ，解不等式可得结果.
试题解析：⑴若，
所以的值域是
⑵依题意有,即,解得,
即实数的取值范围为.
18. 国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运
会举办地。目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出。某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
80
年龄大于50岁
10
合计
70
100
（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过5％的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?
（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．
【答案】（1）见解析；（2）能在犯错误的概率不超过5﹪的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；（3）．
【解析】试题分析：(1)根据条件中所给的数据填上对应的数据，即可得到列联表；(2 )假设聋哑没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论；(3 ) 利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出 的概率..
试题解析：
支 持
不 支 持
总 计
年龄不大于50岁
20
60
80
年龄大于50岁
10
10
20
合 计
30
70
100
（1）
（2）
所以能在犯错误的概率不超过5﹪的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关.
（3）记5人为a b c d e,其中a b表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：
abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde共10个，其中至多一位教师有7个基本事件：
acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde，所以所求概率是.
【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图、古典概型概率公式以及独立性检验，属于难题.
独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.
（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）
19. 某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①；②；③
（1）已知，，，，，，请从①②③这三个式子中任选一个，结合所给范围，验证其正确性.（注意不能近似计算）；
（2）请将此规律推广至一般情形，并证明.
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】试题分析：（1）结合此范围，验证其正确性，
（2）一般结论为：若n∈N*，则，，用分析法和综合法即可证明．
试题解析：
（1）验证①式成立：
（2）一般结论为：若，则，证明如下：
证法一：要证：
只需证：
即证：
也就是证：
只需证： 即证：，显然成立
故
证法二：
，
20. 已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线过点,倾斜角为
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线的标准参数方程；
（2）设直线与曲线C交于A,B两点，求.
【答案】（1）， ；（2）．
【解析】试题分析：（1）先根据 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，根据直线参数方程公式可得直线的标准参数方程；（2）由直线参数方程几何意义得，将直线参数方程代入曲线韦达定理可得，因此
试题解析：（1）对于C：由
对于有
（2）设A,B两点对应的参数分别为
将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程
得
化简得
21. （I）若，恒成立，求常数的取值范.
（Ⅱ）已知非零常数、满足，求不等式的解集；
【答案】（Ⅰ），或；（Ⅱ）当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【解析】试题分析：（1）问题转化为(−1)( −2x+1)⩾
0，通过讨论的范围求出不等式的解集，从而求出的范围即可．
（2）根据条件可得，进而，或，分别讨论求解即可.
试题解析：
（1）由已知得,|x− |⩾x−1⩾0,(x−)2⩾(x−1)2
∴(−1)( −2x+1)⩾0，
=1时,( −1)( −2x+1)⩾0恒成立
>1时,由(−1)( −2x+1)⩾0得, ⩾2x−1,从而⩾3
<1时,由(−1)( −2x+1)⩾0得, ⩽2x−1,从而⩽1
综上所述,a的取值范围为(−∞,1]∪3,+∞)…(10分)
（2），∴，
∴，或，
当时，，，
当时，，
∴，或，∴或，
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
点睛：解决不等式恒成立问题的常用方法
分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.
22.
22. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量 (单位：)和年利润
(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费和年销售量 ()数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中 ， =
(Ⅰ)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率与、的关系为.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
(ⅰ)年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
(ⅱ)年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
【答案】（I）适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（II）；（III）（i）；（ii）年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
【解析】(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(Ⅱ)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.由于
所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,
因此y关于x的回归方程为=100.6+68.
(Ⅲ) （ⅰ）由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值
=100.6+68=576.6,
年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
=0.2（100.6+68）-x=-x+13.6+20.12,
∴当=即x=46.24时取最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.