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- 2023-12-12 发布
广东省清远市清城区三中高三第一学期第十一次周考
数学（理）试题
(本卷满分150分，时间120分钟)
一、 选择题（60分，每题5分）
1．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．如图1所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的（ ） A．16 B．17 C．19 D．15
2．平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，且，，若，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
3．已知双曲线，曲线在点处的切线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.设集合，，则等（ ）
A. B. C. D.
5.抛物线的焦点坐标是 （ ）
A. B. C. D.
6.“”是“”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.函数的图象的一条对称轴方程为 （ ）
A. B. C. D.
8.已知各项均为正数的等比数列满足，，则 （ ）
A.4 B. 2 C.1 D.
9.在中，若，则一定是 （ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
10.定义在上的函数，则满足的的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
11.某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等5名志愿者中选2名担任翻译，2名担任向导，还有1名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有 （ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
12.已知函数则关于的方程实根个数不可能为 （ ）
A.2 个 B..3个 C.4个 D.5个
一、 填空题（20分，每题5分）
13. 若不等式组的解集中有且仅有有限个数，则=_____
14. 函数的最小值为______
15. 设二项式的展开式中各项系数的和为，二次式系数的和为，且，则的值为_____
16. 若函数在上位增函数，则方程组的解的组数为____
二、 解答题（70分）
17、（12分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．
（Ⅰ） 求等比数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 若数列{bn}满足bn=11﹣2log2an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
18．（12分）（2009•襄阳模拟）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．
（1）若=，求角α的值；
（2） 若•=﹣1，求的值．
19．（12分）（2015秋•成都月考）在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）
几何证明选讲
坐标系与参数方程
不等式选讲
合计
男同学
12
4
6
22
女同学
0
8
12
20
合计
12
12
18
42
在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知两名数学科代表都在选做《不等式选讲》的同学中．
（Ⅰ）求在选做“坐标系与参数方程”的同学中，至少有一名女生参加座谈的概率；
（Ⅱ）记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
20．（12分）（2015秋•大庆月考）设函数f（x）=，其中=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期与单调减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2．
①求A；
②若b=1，△ABC的面积为，求的值．
21.（12分）（2015秋•成都月考）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PC=PD，E是CD的中点．
（Ⅰ）证明：平面PAE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PB=PD=2PA，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
22.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1） 当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围．
数学（理）答案
一、1-12：BDABC ABC AD CD
二、13、2018 14、一 15、4 16、1个
三、17、解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，an＞0
因为2a1，a3，3a2成等差数列，所以2a1+3a2=2a3，
即，
所以2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2或（舍去），
又a1=2，所以数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由题意得， bn=11﹣2log2an=11﹣2n，
则b1=9，且bn+1﹣bn=﹣2，
故数列{bn}是首项为9，公差为﹣2的等差数列，
所以=﹣（n﹣5）2+25，
所以当n=5时，Tn的最大值为25．
18、解：（1）∵，
∴化简得tanα=1
∵．
∴．
（2）∵，
∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，
∴
∴，
∴．
19.解：（Ⅰ）由分层抽样的原理可知在“坐标系与参数方程”的12位同学中，要选取2位同学．
令事件A为“在选做“坐标系与参数方程”的同学中，至少有一名女生参加座谈”，
则P（A）==．…（5分）
（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．
由题知X的可能值为0，1，2．
依题意P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，…（8分）
从而X的分布列为：
X
0
1
2
P
…（10分）
于是E（X）==．…（12分）
20.解：∵=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），
∴f（x）==2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+2（cos2x+sin2x）=1+2cos（2x﹣），
（1）∵ω=2，∴T==π，
令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
则函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；
（2）①∵f（A）=2，
∴1+2cos（2A﹣）=2，
∴cos（2A﹣）=，
∵A∈（0，π），
∴2A﹣∈（﹣，），
∴2A﹣=，
则A=．
②∵b=1，△ABC的面积为=bcsinA=，
∴c=2，
∴a===，
∴===2．
21.（I）证明：∵PC=PD，E是CD的中点，∴PE⊥CD，
∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又PA⊥AB，∴CD⊥PA，
∵PA∩PE=P，∴CD⊥平面PAE．
∵CD⊂平面BACD，∴平面PAE⊥平面ABCD．
（II）解：∵CD⊥平面PAE，∴CD⊥AE．
∴AB⊥AE．∵PB=PD，AB=AD，AP公用．
∴△PAB≌△PAD．
∴∠PAD=∠PAB=90°．
∴PA⊥AD，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AE．
如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设PA=1，则AB=2．
∴A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，1），E（0，，0），C（1，，0），
=（﹣1，，0），=（﹣1，﹣，1），=（﹣1，0，0），
设平面PCB的法向量为=（x1，y1，z1），则，即，取=．
设平面PCE的法向量为=（x2，y2，z2），则，即，取=．
∴===，
由图可知：二面角B﹣PC﹣D的平面角是钝角．
∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．
22.
解：（Ⅰ）当时，
不等式，即．
当时，由，解得；
当时，由，解得，故不等式无解；
当时，由，解得．
综上，的解集为．
（Ⅱ）等价于．
当时，等价于，即，
若的解集包含，
则
即．
故满足条件的的取值范围为．