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- 2023-12-11 发布
2016-2017学年江西省上饶市横峰中学、铅山一中高二（下）第一次联考数学试卷（理科）
一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
2．定积分（x+sinx）dx的值为（ ）
A．﹣cos1 B． +1 C．π D．
3．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＜0，设则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
4．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+3x，若f'（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的值是（ ）
A．2或1 B．0 C．1或0 D．1
5．设则等于（ ）
A． B． C． D．不存在
6．设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤4π），则函数f（x）的所有极大值之和为（ ）
A．e4π B．eπ+e2π C．eπ﹣e3π D．eπ+e3π
7．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（ ）
A． B． C．
D．
8．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（ ）
A．（0，4） B． C． D．（0，1），（4，+∞）
9．已知函数f（x）=alnx+blog2x+1，f
A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．
10．已知函数f（x）的导数f'（x），f（x）不是常数函数，且（x+1）f（x）+xf'（x）≥0，对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ef（1）＜f（2） B．f（1）＜0 C．ef（e）＜2f（2） D．f（1）＜2ef（2）
11．已知函数f（x）=aex﹣x2﹣（2a+1）x，若函数f（x）在区间（0，ln2）上有最值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）
12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式＞2恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（12，30] B．（﹣∞，18] C．[18，+∞） D．（﹣12，18]
二、填空题：（本题包括4小题，共20分）
13．若函数f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，则f′（1）的值为 ．
14．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是 ．
15．已知函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f'（0）= ．
16．已知f（x）=xex，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：（本题包括6小题，共70分）
17．已知函数f（x）=x3﹣3x及y=f（x）上一点P（1，﹣2），过点P作直线l．
（1）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；
（2）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程．
18．已知．
（1）若f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，求k与b的值；
（2）求．
19．已知曲线C：y2=2x﹣4．
（1）求曲线C在点A（3，）处的切线方程；
（2）过原点O作直线l与曲线C交于A，B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
20．已知函数f（x）=alnx﹣x+1，α∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值．
21．已知函数f（x）=xex．
（I）求f（x）的单调区间与极值；
（II）是否存在实数a使得对于任意的x1，x2∈（a，+∞），且x1＜x2，恒有成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．
22．设函数y=f （x），对任意实数x，y都有f （x+y）=f （x）+f （y）+2xy．
（1）求f （0）的值；
（2）若f （1）=1，求f （2），f （3），f （4）的值；
（3）在（2）的条件下，猜想f （n）（n∈N*）的表达式并用数学归纳法证明．
2016-2017学年江西省上饶市横峰中学、铅山一中高二（下）第一次联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得倾斜角．
【解答】解：y=x2的导数为y′=2x，
在点的切线的斜率为k=2×=1，
设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
由k=tanα=1，
解得α=45°．
故选：B．
2．定积分（x+sinx）dx的值为（ ）
A．﹣cos1 B． +1 C．π D．
【考点】定积分．
【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案．
【解答】解：（x+sinx）dx=（x2﹣cosx）|=（﹣cos1）﹣（0﹣1）=﹣cos1，
故选：A
3．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＜0，设则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】利用导数的符号，确定函数的单调性，结合函数的对称性，判断大小．
【解答】解：因为（x）=f（2﹣x），所以函数f（x）关于x=1对称，
当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，
所以f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，
而f（2）=f（0），f（）=f（），
﹣1＜0＜，
∴f（﹣1）＜f（0）=f（2）＜f（）=f（），
即a＜c＜b，
故选：C．
4．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+3x，若f'（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的值是（ ）
A．2或1 B．0 C．1或0 D．1
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】求出f（x）的导数，讨论a=0，a≠0，解方程和运用判别式为0，即可得到所求a的值．
【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+3x，
导数为f′（x）=3ax2﹣6x+3，
若f'（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，
当a=0时，f′（x）=3﹣6x=0，解得x=＞0，满足题意；
当a≠0时，△=36﹣4×3a×3=0，解得a=1，f′（x）=0，解得x=1＞0．
则a的值为0或1．
故选：C．
5．设则等于（ ）
A． B． C． D．不存在
【考点】定积分．
【分析】根据定积分的计算法则计算即可．
【解答】解：设
则=x2dx+（2﹣x）dx=x3|+（2x﹣x2）|=+（4﹣2）﹣（2﹣）=，
故选：C
6．设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤4π），则函数f（x）的所有极大值之和为（ ）
A．e4π B．eπ+e2π C．eπ﹣e3π D．eπ+e3π
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e2kπ+π，即可求函数f（x）的各极大值之和．
【解答】解：∵函数f（x）=ex（sinx﹣cosx），
∴f′（x）=（ex）′（sinx﹣cosx）+ex（sinx﹣cosx）′=2exsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）递减，
故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，
其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]
=e2kπ+π×（0﹣（﹣1））
=e2kπ+π，
又0≤x≤4π，
∴函数f（x）的各极大值之和S=eπ+e3π．
故选：D．
7．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t，f（t））处切线的斜率为在点（t，f（t））处的导数值，可得答案．
【解答】解：∵f（x）=xsinx+cosx
∴f′（x）=（xsinx）′+（cosx）′
=x（sinx）′+（x）′sinx+（cosx）′
=xcosx+sinx﹣sinx
=xcosx
∴k=g（t）=tcost
根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x＞0时g（t）＞0
故选B．
8．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（ ）
A．（0，4） B． C． D．（0，1），（4，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】结合函数图象求出f′（x）﹣f（x）＜0成立的x的范围即可．
【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，
而g′（x）=，
故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，
故选：D．
9．已知函数f（x）=alnx+blog2x+1，f
A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．
【考点】函数的值．
【分析】由已知得f=alnx+blog2x+1，f=aln2017+blog22017+1=3，
∴aln2017+blog22017=2，
∴=+b+1
=﹣aln2017﹣blog22017+1=﹣1．
故选：A．
10．已知函数f（x）的导数f'（x），f（x）不是常数函数，且（x+1）f（x）+xf'（x）≥0，对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ef（1）＜f（2） B．f（1）＜0 C．ef（e）＜2f（2） D．f（1）＜2ef（2）
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【分析】根据条件构造函数F（x）=xexf （x），求出函数的导数，得到F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立，得出函数F（x）=xexf （x）在[0，+∞）上单调递增，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．
【解答】解：构造函数F（x）=xexf （x），则F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]，
∵（x+1）f（x）+xf'（x）≥0，
∴F′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，
∴函数F（x）=xexf （x）在[0，+∞）上单调递增，
∴F（1）＜F（2），
∴f（1）＜2ef（2），
故选：D．
11．已知函数f（x）=aex﹣x2﹣（2a+1）x，若函数f（x）在区间（0，ln2）上有最值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】f′（x）=aex﹣2x﹣（2a+1）=g（x），由函数f（x）在区间（0，ln2）上有最值⇔g（x）在区间（0，ln2）上存在零点．利用函数零点存在定理即可得出．
【解答】解：f′（x）=aex﹣2x﹣（2a+1）=g（x），
由函数f（x）在区间（0，ln2）上有最值⇔g（x）在区间（0，ln2）上单调且存在零点．
∴g（0）g（ln2）=（a﹣2a﹣1）（2a﹣2ln2﹣2a﹣1）＜0，
可得a+1＜0，解得a＜﹣1．
此时g′（x）=aex﹣2在区间（0，ln2）上单调递减．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：A．
12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式＞2恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（12，30] B．（﹣∞，18] C．[18，+∞） D．（﹣12，18]
【考点】函数恒成立问题．
【分析】依题意知，不等式＞2恒成立等价转化为f′（x+1）＞2恒成立，分离参数a，利用二次函数的单调性与最值即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=aln（x+1）﹣x2，
∴f（x+1）=aln[（x+1）+1]﹣（x+1）2，
∴f′（x+1）=﹣2（x+1），
∵p，q∈（0，1），且p≠q，
∴不等式＞2恒成立⇔＞2恒成立⇔f′（x+1）＞2恒成立，
即﹣2（x+1）＞2（0＜x＜1）恒成立，
整理得：a＞2（x+2）2（0＜x＜1）恒成立，
∵函数y=2（x+2）2的对称轴方程为x=﹣2，∴该函数在区间（0，1）上单调递增，
∴2（x+2）2＜18，
∴a≥18．
故选：C．
二、填空题：（本题包括4小题，共20分）
13．若函数f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，则f′（1）的值为 2 ．
【考点】导数的运算．
【分析】求出函数f（x）的导数，计算f′（1）的值即可．
【解答】解：∵f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，
∴f′（x）=3f′（1）x2﹣4x，
∴f′（1）=3f′（1）﹣4，解得：f′（1）=2，
故答案为：2．
14．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是 ．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得．
【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象，则封闭图形的面积
．
故答案为：．
15．已知函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f'（0）= 100! ．
【考点】导数的运算．
【分析】根据题意，将f（x）的变形可得f（x）=x[（x+1）（x+2）…（x+100）]
，对其求导可得f′（x）=1•[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′，将x=0代入计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100）=x[（x+1）（x+2）…（x+100）]，
其导数f′（x）=（x）′[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′
=1•[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′
则f′（0）=1×2×3×4×…×100+0=100！；
故答案为：100!．
16．已知f（x）=xex，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是 a ．
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．
【解答】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，
f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；
当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，
所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．
故答案为：a≥．
三、解答题：（本题包括6小题，共70分）
17．已知函数f（x）=x3﹣3x及y=f（x）上一点P（1，﹣2），过点P作直线l．
（1）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；
（2）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程．
【考点】直线的点斜式方程；导数的几何意义．
【分析】（1）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x2﹣3，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可．
（2）设另一切点为（x0，y0），求出该点切线方程，再由条件计算．
【解答】解：（1）由f（x）=x3﹣3x得，f′（x）=3x2﹣3，
过点P且以P（1，﹣2）为切点的直线的斜率f′（1）=0，
∴所求直线方程为y=﹣2．
（2）设过P（1，﹣2）的直线l与y=f（x）切于另一点（x0，y0），
则f′（x0）=3x02﹣3．
又直线过（x0，y0），P（1，﹣2），
故其斜率可表示为=，
又=3x02﹣3，
即x03﹣3x0+2=3（x02﹣1）•（x0﹣1），
解得x0=1（舍）或x0=﹣，
故所求直线的斜率为k=3×（﹣1）=﹣，
∴y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），
即9x+4y﹣1=0．
18．已知．
（1）若f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，求k与b的值；
（2）求．
【考点】定积分；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）根据导数的几何意义可得f（0）=1，f′（0）=1，列方程组解出即可；
（2）结合（1）中的导数可求得y=的原函数，利用微积分基本定理计算定积分．
【解答】解：（1）f′（x）==．
∵f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，
∴，即，
解得k=2，b=1．
（2）令=得，
解得k=﹣1，b=0，
∴（）′=，
∴==﹣．
19．已知曲线C：y2=2x﹣4．
（1）求曲线C在点A（3，）处的切线方程；
（2）过原点O作直线l与曲线C交于A，B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【考点】轨迹方程；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）y＞0时，y=，求导数，可得切线的斜率，从而可求曲线C在点A（3，）处的切线方程；
（2）设l：y=kx代入y2=2x﹣4，利用韦达定理，结合中点坐标公式，即可求出线段AB的中点M的轨迹方程．
【解答】解：（1）y＞0时，y=，
∴y′=，
∴x=3时，y′=，
∴曲线C在点A（3，）处的切线方程为y﹣=（x﹣3），即x﹣y﹣1=0；
（2）设l：y=kx，M（x，y），则
y=kx代入y2=2x﹣4，可得k2x2﹣2x+4=0，
∴△=4﹣16k2＞0，∴
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=，
∴y1+y2=
∴x=，y=，
∴y2=x（x＞4）．
20．已知函数f（x）=alnx﹣x+1，α∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出f′（x），根据当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，当a＞0时，若f′（x）＞0，则0＜x＜a，若f′（x）＜0，则x＞a，可得函数的单调区间；
（2）分别讨论a≤0和a＞0的情况：a≤0时，发现在（0，1）上函数f（x）＞0，∴f（x）≤0在区间x∈（0，+∞）上不可能恒成立；当a＞0时，再次求导求出a的值
【解答】解：（1）∵f（x）=alnx﹣x+1，x＞0，
∴f′（x）=﹣1=，
当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，若f′（x）＞0，则0＜x＜a，若f′（x）＜0，则x＞a，
故此时，f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减；
（2）由（1）知：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减区间，而f（1）=0，
∴在（0，1）上函数f（x）＞0，
∴f（x）≤0在区间x∈（0，+∞）上不可能恒成立；
当a＞0时，f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）上递减，
f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，
令g（a）=alna﹣a+1，
依题意有g（a）≤0，
而g′（a）=lna，且a＞0
∴g（a）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴g（a）min=g（1）=0，
故a=1，
21．已知函数f（x）=xex．
（I）求f（x）的单调区间与极值；
（II）是否存在实数a使得对于任意的x1，x2∈（a，+∞），且x1＜x2，恒有成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数求函数的单调性和极值．
（II）构造函数g（x）=[f（x）﹣f（a）]/（x﹣a）=（xex﹣aea）/（x﹣a），x＞a，求出函数导数，判断函数导函数的值与0的关系，根据导函数的单调性，求a的取值范围．
【解答】解：（I）由f′（x）=ex（x+1）=0，得x=﹣1；
当变化时的变化情况如下表：可知f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），递增区间为（﹣1，+∞），
f（x）有极小值为f（﹣1）=﹣，但没有极大值．
（II）令g（x）=[f（x）﹣f（a）]/（x﹣a）=（xex﹣aea）/（x﹣a），x＞a，
则[f（x2）﹣f（a）]/（x2﹣a）＞[f（x1）﹣f（a）]/（x1﹣a）恒成立，
即g（x）在（a，+∞）内单调递增这只需g′（x）＞0．而g′（x）=[ex（x2﹣ax﹣a）+aea]/（x﹣a）2
记h（x）=ex（x2﹣ax﹣a）+aea，
则h′（x）=ex[x2+（2﹣a）x﹣2a]=ex（x+2）（x﹣a）
故当a≥﹣2，且x＞a时，h′（x）＞0，h（x）在[a，+∞）上单调递增．
故h（x）＞h（a）=0，从而g′（x）＞0，不等式（*）恒成立
另一方面，当a＜﹣2，且a＜x＜﹣2时，h′（x）＜0，h（x）在[a，﹣2]上单调递减又h（a）=0，所以h（x）＜0，
即g′（x）＜0，g（x）在（a，﹣2）上单调递减．
从而存在x1x2，a＜x1＜x2＜﹣2，使得g（x2）＜g（x1）
∴a存在，其取值范围为[﹣2，+∞）
22．设函数y=f （x），对任意实数x，y都有f （x+y）=f （x）+f （y）+2xy．
（1）求f （0）的值；
（2）若f （1）=1，求f （2），f （3），f （4）的值；
（3）在（2）的条件下，猜想f （n）（n∈N*）的表达式并用数学归纳法证明．
【考点】抽象函数及其应用；数学归纳法．
【分析】（1）利用特殊值法判断即可；
（2）根据条件，逐步代入求解；
（3）猜想结论，根据数学归纳法的证明步骤证明．
【解答】解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0，得f（0）=0．…
（2）由f（1）=1，得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2×1×1=4．
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2×2×1=9．f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2×3×1=16．…
（3）由（2）可猜想f（n）=n2，…
用数学归纳法证明：
（i）当n=1时，f（1）=12=1显然成立．…
（ii）假设当n=k时，命题成立，即f（k）=k2，…
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2×k×1=k2+1+2k=（k+1）2，
故当n=k+1时命题也成立，…
由（i），（ii）可得，对一切n∈N*都有f（n）=n2成立．…