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- 2023-12-10 发布
三明一中2017-2018高三暑假返校考
数学（文科）试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
参考公式和数表:
1、独立性检验可信度表：
P()
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
2、独立性检验临界值表及参考公式：
3、线性回归方程：，
4、相关指数
第I卷 选择题
一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分，每一小题只有一个选项正确）
1．已知集合，，则（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3] C．[3，4） D．[﹣1，4]
2．若复数（是虚数单位），则的虚部为( )
A．-3i B．3 C．3i D．-3
3．用反证法证明“方程至多有两个解”的假设中，正确的是（ ）
A．至多有一个解 B．有且只有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解
4．设，，则“≥1且≥1”是“≥2”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．输出下列四个命题：
①回归直线恒过样本点的中心；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；
④在线性回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1．
其中真命题的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6. 已知命题：“是，的充分必要条件”，命题：“存在， ”，则下列命题正确的是（ ）
A．命题“∧”是真命题 B．命题“∧（￢）”是真命题
C．命题“（￢）∧”是真命题 D．命题“（￢）∧（￢）”是真命题
7.函数y=lncosx（）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8. 已知，，，则（ ）
A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞
9．如图是求S=1+3+5+…+99的程序流程图，其中①应为（ ）
A．A≤97？ B．A＜99？ C．A≤99？ D．A≤101？
10．已知，，猜想的一个表达式为（ ）
A． B． C． D．
11．已知＞0，＞0，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．4
12．定义在上的偶函数，其导函数为，当时，都有，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞
第II卷 非选择题
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置）
13. 若，，则= ******* ．
14. 已知不等式的解集为，则实数的取值范围是 ******* ．
15. 已知函数，其中，函数的值域为，则的取值范围是 ****** ．
16. 设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若函数在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是 ************ ．
三、解答题(本大题共有6小题，共70分，每小题请写出必要的解答步骤和计算过程)
17.(本小题12分)
复数，
（1）若 ，求的值；
（2）若在复平面内复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
18.(本小题12分)
禽流感是家禽养殖业的最大威胁，为检验某种药物预防禽流感的效果，取80只家禽进行对比试验，得到如下丢失数据的列联表：（其中，，，表示丢失的数据）．
患病
未患病
总计
没服用药
25
15
40
服用药
40
总计
80
工作人员曾记得．
（1）求出列联表中数据，，，的值；
（2）能否在犯错误率不超过0.005的前提下认为药物有效？
19.(本小题12分)
观察下面的解答过程：已知正实数，满足，求+的最大值．
解：∵≤，≤
，相加得=≤，
∴≤，等号在时取得，即的最大值为．
请类比以上解题法，使用综合法证明下题：
已知正实数x，y，z满足x+y+z=3，求++的最大值．
20.(本小题12分)
已知函数为偶函数．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）记集合，，判断与的关系；
21.(本小题12分)
已知函数，．
（1）若函数，求函数的单调区间；
（2）设直线为函数的图象上一点处的切线，在区间上是否存在使得直线与曲线相切，若存在，求出的个数；若不存在，请说明理由．
请考生从给出的22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所选做的前一题计分，作答时，请用2B铅笔将所选题目对应题号涂黑
22．（本小题10分）选修4-4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线过点，斜倾角为60°，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C交于A、B两点，求的值．
23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式≥0；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
三明一中2017-2018高三暑假返校考
数学（文科）试卷答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
A
B
C
A
C
C
B
B
D
1.解：由B中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即B=[﹣1，3]，
∵A=（1，4），∴A∪B=[﹣1，4]．
2．解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则z的虚部为3，
3.解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，
命题：“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”，
4.解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，
当a=0，b=3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，
即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件，
5.解：对于①，回归直线恒过样本点的中心（，），命题正确；
对于②，回归直线也可能不过任何一个点，所以命题B不正确；
对于③，用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，命题正确；
对于④，线性回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数线性|r|就越接近于1，故命题错误．
所以真命题的序号为①③，共2个．
6.解：对于p，当a=1时，x+≥2=2，在x＞0时恒成立，
反之，若x＞0，x+≥2恒成立，则2≥2，即，可得a≥1
因此，“a=1是x＞0，x+≥2的充分不必要条件”，命题p是假命题．
对于q，∵在x0＜﹣1或x0＞2时+x0﹣2＞0才成立，
∴“存在x0∈R， +x0﹣2＞0”是真命题，即命题q是真命题．
综上，命题p为假命题而命题q为真命题，所以命题“（￢p）∧q”是真命题
7.解：∵cos（﹣x）=cosx，∴是偶函数，可排除B、D，
由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，
8. 解：∵0＜a=＜20=1，
b=log2＜log21=0，
c=log=log23＞log22=1，
∴c＞a＞b．
9.解：模拟程序的运行可得程序的功能是计算并输出S=1+3+5+…+99的值，
且在循环体中，S=S+A表示，每次累加的是A的值，
故当A≤99应满足条件进入循环，A＞99时就不满足条件，故条件为：A≤99？．
10.解：∵f（1）=1（x∈N*），∴可以排除A，
∵f（x+1）=，∴f（2）==，f（3）=∴排除D，C
可判断B函数符合，
11.解：由a＞0，b＞0，且4a+b=ab，可得+=1，
则a+b=（a+b）（+）=1+4++≥5+2=5+4=9．
当且仅当=，即b=2a，又4a+b=ab，解得a=3，b=6，a+b取得最小值9．
12.解：令g（x）=xf（x），g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵x∈（﹣，0）时，都有f（x）+f′（x）＞0，
∴x∈（﹣，0）时，f（x）+xf′（x）＜0，令g(x）=xf(x)
∴x∈（﹣，0）时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣，0）递减，
而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R上是奇函数，
∴g（x）在R递减，∵3＞lnπ＞﹣2，∴g（3）＜g（lnπ）＜g（﹣2），∴a＜b＜c，
二、填空题
13. 5 解：a10=，am==，可得=a2m．即2m=10，解得m=5．
14. a＜3 解：由于|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的点x到﹣1、2对应点的距离之和，它的最小值为3，故由不等式|x+1|+|x﹣2|＞a的解集为R，可得a＜3，
15. [2，5] 解：函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，对称轴方程为x=2，在[﹣1，2]上为增函数，[2，t]上为减函数由﹣x2+4x+1=﹣4，可得x=﹣1或5，
∴要使函数f（x）=﹣x2+4x+1，其中x∈[﹣1，t]，函数的值域为[﹣4，5]，
∴实数t的取值范围是[2，5]．
16.（，2） 解：∵对于任意的x∈R，
都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）
是一个周期函数，且T=4又∵当x∈[﹣2，0]
时，f（x）=，且函数f（x）是
定义在R上的偶函数，故函数f（x）在区间
（﹣2，6]上的图象如右图所示：
若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解
则loga4＜3，loga8＞3，解得：＜a＜2，即a的取值范围是（，2）
三、解答题
17.解： z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+（1﹣a2）i，…………2分
（1）由知，1﹣a2=0，故a=±1． …………4分
当a=1时，z=0，=0；
当a=﹣1时，z=6，=6． …………6分
（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，………………8分
即， …………10分
所以﹣1＜a＜1． …………12分
18.解：（1）由题意可知：，解得； ………………4分
M=25+10=35，N=15+30=45；
数据c，d，M，N的值分别为：10，30，35，45； ………………6分
（2）K2==11.43＞7.879，………………10分
∴在犯错误率不超过0.005的前提下认为药物有效．………………12分
19.证明：∵，………………2分
． ………………4分
． ………………6分
∴ …………8分
因为x+y+z=3，所以． ………………10分
当且仅当等号在x=y=z=1时取得．即得最大值为． ……12分
20.解：（Ⅰ）∵函数为偶函数．∴f（﹣x）=f（x）…………1分
即= ………………2分
∴2（a+1）x=0， ………………4分
∵x为非零实数，∴a+1=0，即a=﹣1 …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ……………6分
∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0， } ………………9分
∵ …………11分
∴ ………………12分
21. 解：（1）由题意得，h（x）=f（x）﹣=lnx﹣， …………1分
∴h（x）的定义域是（0，1）∪， …………2分
且h′（x）=﹣==，……3分
∵x＞0且x≠1，∴h'（x）＞0，
∴函数h（x）的单调递增区间为（0，1）和； ……………4分
（2）假设在区间上存在x0满足条件，∵f′（x）=，则f′（x0）=，………5分
∴切线的方程为y﹣lnx0=（x﹣x0），即y=x+lnx0﹣1，① …………6分
设直线与曲线y=g（x）相切于点（x1，），
∵g′（x）=ex，∴=，则x1=﹣lnx0， …………7分
∴直线方程又为y﹣=（x+lnx0），即y=x+lnx0+，② …………8分
由①②得lnx0﹣1=（lnx0+1 ），得lnx0=， …………9分
下面证明在区间上x0存在且唯一．
由（1）可知，h（x）=lnx﹣在区间上递增．
又h（e）=lne﹣=＜0，h（e2）=lne2﹣=＞0，…………11分
结合零点存在性定理知：h（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根x0，
∴在区间上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切．…………12分
22.解：（1）由ρ2=知，ρ2+ρ2sin2θ=4， …………1分
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入上式，可得x2+2y2=4， …………2分
所以曲线C的直角坐标方程为+=1； …………4分
（2）已知直线过点P（，2），倾斜角为60°，
所以直线的参数方程为（t为参数），
即为（t为参数）， …………6分
代入曲线C的直角坐标方程x2+2y2=4，得：7t2+20t+28=0， …………8分
设A、B两点对应的参数为t1、t2，则t1t2=4，故|PA|•|PB|=|t1t2|=4． ……………10分
23.解：（1）由f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|= …………3分
f（x）≥0，可得：或或 …………6分
解得：{x|x≤﹣5或x≥1}； …………7分
（2）当x0∈[﹣7，7]，时，f（x0）∈[﹣，12]， …………8分
由题意f（x0）+m2＜4m知，﹣＜4m﹣m2，即m2﹣8m﹣9＜0， …………9分
解得：﹣1＜m＜9 …………10分