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- 2023-12-10 发布
福建省泉州市一中 2011—2012 学年高三上学期期中考试（数学理）
（满分：150 分 考试时间:120 分钟 ）
一、选择题（请把选项代号填入Ⅱ卷相应位置上，每题 5 分。本题满分 60 分）
1. 已知函数 的定义域为 M，g(x)= 的定义域为 N，则 M∩N= ( )
A．{ x |-1≤x＜1} B．{ x | x >1} C．{x|-1＜x＜1} D．
2．在 ABC 中，角 A、B、C 的大小成等差数列，则 sin(A+C)= ( )
A. B. C. D.
3. 在等差数列 中, ( )
A. 5 B．6 C．4 D．84．下列函数
中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B． C． D．
5. 已知 ,且关于 的方程 有实根,则 与 的夹角的取值范
围是 ( )
A.[0, ] B. C. D.
6 ． 已 知 为 的 三 个 内 角 的 对 边 ， 向 量 ，
． 若 ， 且 ， 则 角
( )
A. B. C. D.
7．曲线 x-y=0, ，所围成的图形的面积是 （ ）
A．1 B． C．9 D．
8．已知函数 ，则 =( )
A. 2011 B. 8 C. 0 D. 2
9．已知非零向量AB→
与AC→
满足(
AB→
|AB→
|
+
AC→
|AC→
|
)·BC→
=0 且
AB→
|AB→
|
·
AC→
|AC→
|
=
1
2 , 则△ABC 为( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三
角形
1( )
1
f x
x
=
− ln(1 )x+
φ
∆
2
1−
2
3
2
3−
2
1
}{ na =+++= 1075211 1111 aaaaS ，则项和若前
3 ,y x x R= − ∈ sin ,y x x R= ∈ 0,1 ≠= xxy x1( ) ,2y x R= ∈
| | 2 | | 0a b= ≠ x 2 | | 0x a x a b+ + ⋅ = a b
6
π
[ , ]3
π π 2[ , ]3 3
π π
[ , ]6
π π
a b c， ， ABC△ A B C， ， ( 3 1)= −，m
(cos sin )A A= ，n ⊥m n cos cos sina B b A c C+ = B =
3
π
3
2π
6
π
6
5π
xxy 22 −=
2
9
2
5
4lgln)1()( 32 +−+= xnxmxf )2011
1()2011( ff +
10．已知向量 ,则 = ( )
A．1 B． C．2 D．
11．已知各项均不为零的数列 ,定义向量 ， ， .
下列命题中为真命题的是 ( )
A．若 总有 成立，则数列 是等差数列
B．若 总有 成立，则数列 是等比数列
C．若 总有 成立，则数列 是等差数列
D．若 总有 成立，则数列 是等比数列
12. f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数 ，且满足 ，若 ，
，则 的大小关系是（ ）A． B．
C． D．
二、填空题：(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分)。
13. 已知 是公比为 的等比数列，且 成等差数列，则 _______ ．
14．若 是定义在 上的奇函数，且 ，则 .
15. 若 是偶函数,则有序实数对( )可以是 .
(写出你认为正确的一组数即可).
16. 给出下列四个命题:
① 集合 A={－1，0，1}，B={ }，则 A B={1}
② 若函数 , , 使 ;
③ 在△ABC 中，若 A>B，则 sinA>sinB ;
④ 在数列 中， , 为非零常数．，且前 项和为 ，则实数 =-1;
⑤ 已 知 向 量 , ， , ， ,
;
⑥ 集合 ,若 则 的图象
关于原点对称. 其中所有正确命题的序号是 .
),sin,(cos αα=a ))3sin(),3(cos(
παπα ++=b ba −
5 3
{ }na 1( , )n n na a +=c ( , 1)n n n= +b *n N∈
*n N∀ ∈ / /n nc b { }na
*n N∀ ∈ / /n nc b { }na
*n N∀ ∈ n n
⊥c b { }na
*n N∀ ∈ n n
⊥c b { }na
( ) ( )′ ≤xf x f x 3
)3(3 fa =
),2(2 π
π fb =
3lg
)3(lgfc = cba ,, cba >> abc >>
c a b> > bca >>
{ }na q 2 4 3a a a， ， q =
)(xf R )1()( xfxf −= =)2012(f
( ) sin( ) sin( )( 0)4 4f x a x b x ab
π π= + + − ≠ ,a b
Axxyy ∈= ,cos|
xxxf cos2sin)( += ∃ )2,0(
πα ∈
2
5)( =αf
{ }na 1n na ca+ = c n 3n
nS k= + k
xa 2
3(cos= )2
3sin x 2(cos xb = )2sin x− ||)( babaxf +−⋅=
]3,2
3[)(],2,0[ −∈∈ xfx 则π
{ }2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,M f x f x f y f x y f x y x y R= − = + ⋅ − ∈ Mxf ∈)( )(xfy =
泉州一中 2011—2012 学年度第一学期期中考试参考答案
高三数学（理科）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C A B C B B A A A B
二、填空题：
13. 1 或 14. 0
15. （1，-1）(a+b=0)皆可 16. ①③④
三、解答题：本大题共 4 题，共 54 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．（本小题满分 12 分）
函数 f（x）＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图象如图所示，
（1）求 y= f（x）的表达式；
(2）若 ,求 y=f(x)的值域。
解：（1）依题意得 A=2， ……………………………… 2 分
又 ω=2 f（x）＝2sin(2x＋
φ) ……………………………… 4 分
把点（ ，2）带入上式得，2sin( ＋φ)=2，又|φ|＜
φ= ……………………………… 6 分
f（x）＝2sin(2x＋ ) ……………………………… 7 分
(2） ……………………………… 12 分
18．（本小题满分 12 分）
在等比数列 中， ，公比 ， ， 且 4 是 与
的等比中项，⑴求数列 的通项公式； ⑵设 ，求数列 的前 项
和 ，
解：（1）设等比数列 的公比为 q，则 ，由已知得
2
1−
2
π
]4,12[
ππ−∈x
⇒==⇒=−= πω
ππππ 2
263
2
2 TT ∴
6
π
62
π×
2
π ∴
6
π
∴
6
π
]2,0[]3
2,0[62],4,12[ ∈⇒∈+∴−∈ yxx
ππππ
}{ na *)(0 Nnan ∈> 1>q 1002 534231 =++ aaaaaa 2a
4a }{ na nnn aab 2
2 log+= }{ nb n
nS
{ }na 1
1
n
na a q −=
y
2
－
2
x
6
π 3
2π
o
……………………………
4 分
解得 .…………………………… 7 分
（2）由（1）知，
…………………………… 12 分
19. 在 中， 分别是角 的对边，向量 ， ，且
.
（1） 求角 的大小；
（2） 设 ，且 的最小正周期为 ，求 在区间
上的单调增区间及所有对称轴方程.
解：(1)
……………………………
5 分
(2)
………… 7
分
因为 的最小正周期为 ，所以 …………
=
===∴
>=+−∴==
=+>=+=++
8
2,8,2
101610164
,10,0,100)(2
3
1
1
42
2
42
2
42
42
2
42534231
qa
qaaa
qxxaaaa
aaaaaaaaaaa n
即
的两根，为方程、，又
则又
1 1
2
a
q
=
=
12n
na −∴ =
2 1
2log 4 ( 1)n
n n nb a a n−= + = + −
2 1(1 4 4 4 ) (1 2 3 1)
( 1)4 1
3 2
n
n
n
T n
n n
−∴ = + + + + + + + + + −
−−= +
ABC∆ cba ,, CBA ,, ),2( cbam −= )cos,(cos ACn =
nm ⊥
C
)0(cos)cos()( >+−= ωωω xCxxf )(xf π )(xf
],0[ π
32
1coscossin2)sin(sin
cossin2cossincossin
0cossincossin2cossin
0cossincos)sin2(sin
0coscos)2(
π=⇒=⇒=+=
=+
=+−
=+−⇒
=⋅+−=⋅⇒⊥
CCCBCAB
CBACCA
ACCBCA
ACCBA
AcCbanmnm
从而
也即
即
)0(cos)cos()( >+−= ωωω xCxxf xx ωπω cos)3cos( +−=
xxx ωπωπω cos3sinsin3coscos +⋅+⋅=
)3sin(3sin2
3cos2
3cossin2
3cos2
1 πωωωωωω +=+=++= xxxxxx
)(xf π 22 ==
T
πω )32sin(3)(
π+=∴ xxf
8 分
令
,
所 以 在 区 间 上 的 单 调 增 区 间 为
…………………………… 10 分
令 ，
所以 在区间 上的对称轴方程有 ……………………………
12 分
20．（本题满分 12 分）
设集合 ；
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）求函数 的最值。
解：（1） …………………… 3 分
…………………… 4 分，
因为 ，所以 …………………… 6 分
（2）令 t= …………………… 8 分
…………………… 10 分
当 t=-3 时， max=16, 当 t= 时， min=-12 …………………… 12 分
21．（本小题满分 12 分）
已知函数f(x)＝xm+ax的导函数f′(x)＝2x+1， ,点An(n, Sn)在函
数y=f(x) (n∈N*)的图像上 ，
Zkkxkkxk ∈+≤≤−+≤+≤− ,12212
5,223222
πππππππππ 得
]12
7[1],120[0 πππ ，时，，时， ∈=∈= xkxk
)(xf ],0[ π
]12
7[],120[ πππ ，，
Zkkxkx ∈+=+=+ ,122,232
πππππ 得
12
71,120
ππ ==== xkxk 时，时，
)(xf ],0[ π
12
7,12
ππ == xx
},7916{ RxxxA ∈≤−=
Ax ∈4 x
)4(log)4(log)( 24
2
1 x
xxf ⋅= )( Ax ∈
19168
1791677916 ≤−≤⇔≤−≤−⇔≤− xxx
]1,8
1[=∴ A
Ax ∈4 ]0,2
3[−∈x
则],0,3[log2 −∈x
12)2
1(4
)2(4)22)(2(2
)4(log2)4(log)(
2
2
222
−+=
−+=−+−=
⋅−==
t
tttt
x
xyxf
)(xf 2
1− )(xf
{ } nn Sna 项和为的前数列
（1）求证：数列 为等差数列； （2）设 ，求数列 的前 项和
解：(1)由 f′(x)＝2mx+a=2x+1 得 m=a=1,故 f(x)＝x2+x，…………………………… 2 分
则依题意有 Sn= n2+n,
当 n=1 时， ； …………… 3 分
当 n ，…………… 4 分
综上， ， …………………………… 5 分
故数列 为等差数列…………………………… 6 分
(2) = …………………………… 7 分
①
又
②…………………………… 8 分
②－①: ……………………………
10 分
…………………………… 12 分
22．（本小题满分 14 分）
定义：若对定义域 内的任意两个 ，均有 成立，则
称函数 是 上的“平缓函数”。
(1) 判断 和 的单调性并证明；
(2) 判断 和 是否为 R 上的“平缓函数”,并说明理由；
(3) 若数列 中， 总有 。
{ }na na
nn ab 2⋅= }{ nb n nT
211 == Sa
nSSa nnn 2-2 1 ==≥ −时，
）（ *2 Nnnan ∈= 21
* =−∈∀ + nn aaNn ，有
{ }na
na
nn ab 2⋅= nn nn 4222 2 ⋅=⋅
n
n nT 4)2(4442 2 ⋅++×+×=∴
12 4)2(4)22(424 ++⋅−++×= nn
n nnT
3
84)3
3232(
4241
)41(1628
22)444(2223
1
1
1
22322
+⋅−=
⋅+−
−×−−=
⋅++++−×−=
−
+
−
+
n
n
n
nn
n
n
n
nT
9
84)26( 1 +−=∴
+n
n
nT
D ( )2121, xxxx ≠ ( ) ( ) 2121 xxxfxf −≤−
( )xfy = D
xxxf sin)(1 −= xxxf sin)(2 +=
xxg sin)( = xxxh −= 2)(
}{ nx *n N∀ ∈
4
1,sin,
)12(
1
1121 <−=
+
≤− ++ yyxy
n
xx nnnnn 求证设