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- 2023-12-09 发布
红兴隆管理局第一高级中学
2017－2018学年度第一学期月考
高二数学试卷
注：卷面分值150分； 时间：120分钟
一、 选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）
1、若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( D )
A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面
2、如图，在正方体中，直线AE和平面DCC1D1位置关系（ A ）
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法判断
3、如图程序框图，若输入a=﹣9，则输出的结果是（ D ）
A
﹣9
B
﹣3
C
3
D
是负数
4、下列说法中正确的是（ D ）
A．经过三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
5、长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( D )
A．30° B．45° C．60° D．90°
6、执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ c ）
A．10 B．17 C．19 D．36
7、如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中真命题的个数为（ A ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8、已知两不同直线与三不同平面，下列条件能推出∥的是 （ c ）
A．且 B． ，，
C． 且 D．,,,
9、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角为（ B ）
A． B． C． D．
10、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为(B )
A．－ B. C. D．－
11、如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是( B)
A．90° B．60° C．45° D．30°
12、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为(B )
A． B． C． D．
二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）
13、若、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则以下命题正确的是 2 ．
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，则．
14、执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为 30 ．
15、正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于_____45°____
16、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角； ④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是__124______．
三、解答题（本大题共4个小题，17题16分，其它每小题18分，共70分）
17、（本小题满分16分）
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1∥平面CDB1；
(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.
(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
18、（本小题满分18分）
如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥底面ABC；
(2)求证：平面ACD⊥平面EBC；
(3)求几何体C-ABED的体积V.
[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．
∵ADEB为正方形，
∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，
又G是EC的中点，
∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.
又∵AC＝BC＝AB，
∴CA2＋CB2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.
(3)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝AB＝，
∴CH⊥AB，且CH＝，又平面ABED⊥平面ABC
∴GH⊥平面ABCD，∴V＝×1×＝.
19、（本小题满分18分）
如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点．
（1）求异面直线EF与AA1所成角的正切值
（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角正弦值的大小．
(1)连接,易证EF，又//，所以为异面直线EF与AA1所成角，设正方体的棱长为2a，连接则，=2a，所以。
（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AA1B1B//平面， 为求直线EF与平面AA1B1B所成角，设正方体的棱长为2a，则EC=a， ,
20、（本小题满分18分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°，
（1）证明AD⊥平面PAB；
（2）求二面角P-BD-A的大小。
（1）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2
，
可得，
于是AD⊥PA，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB。
（2）解：过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连结PE，
因为AD⊥平面PAB，PH平面PAB，
所以AD⊥PH，又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影，
由三垂线定理可知，BD⊥PE，
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角。
由题设可得，
，
，
，
于是在Rt△PHE中，，