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- 2023-12-09 发布
信丰中学2016-2017学年第二学期高二年级第二次月考
数学（理科）试题
命题人：何春良 审题人：王金明 2017/3/12
一、选择题（12×5′=60′）
1、某汽车启动阶段的路程函数为，则秒时，汽车的加速度是（ ）
A．14 B．4 C．10 D．6
2、若、均为非零向量，则是与共线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3、用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，当时，为了使用假设，应将变形为( )
A． B．
C． D．
4、函数y＝x4－4x＋3在区间上的最小值为( )
A．72 B．36 C．12 D．0
5、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A． B． C． D．
6、若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，,则AA1与平面AB1C1所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8、右图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①是函数的极值点；
②是函数的最小值点；
③在处切线的斜率小于零；
④在区间上单调递增.
则正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
9、设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）
A． B． C． D．
10、已知函数f(x)在定义域R内可导，若，且当时， ，设，，，则、、的大小关系为( )
A． B． C． D．
11、已知且关于的函数在上有极值，则 与的夹角的范围为（ ）
A． B． C． D．
12、抛物线与直线交于A，B两点，且A，B关于直线对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（4×5′=20′）
13、如右图，函数的图象在点P处的切线方程是，则 ________ ；
14、设方程x3－3x＝k有三个不等的实根，则实数k的取值范围是________ ；
15、对于命题：如果是线段上一点，则；将它类比到平面 的情形是：若是△内一点，有；将它类比到空间的情形应该是：若是四面体内一点，则有___________________ ；
16、如图过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线与点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．
三、解答题（共70分）
17、（本小题10分）已知数列{an}前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)．
(1) 计算S1，S2，S 3，S4的值，猜想Sn的解析式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论．
18、（本小题12分）已知函数在点处取得极值.
(1)求，的值；
(2)若有极大值，求在上的最小值．
19、（本小题12分）如图，四边形是边长为1的正方形，，
，且，为的中点．
⑴ 求此几何体的体积；
⑵ 在线段上是否存在点，使得
若存在，求线段的长，若不存在，请说明理由；
⑶ 求二面角的余弦值．
20、（本小题12分）某种产品每件成本为6元，每件售价为元，年销售为万件，若已知与成正比，且售价为元时，年销量为万件．
(1)求年销售利润关于售价的函数关系式；
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
21、（本小题12分）如图，已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，为坐标原点，．
（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．
22、（本小题12分）已知是函数的一个极值点。
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.
信丰中学2016-2017学年第二学期高二年级第二次月考理科数学答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
A
A
B
D
D
A
A
B
C
B
C
C
二、填空题
13、-5 14、 15、 16、
三、解答题
17、解：⑴ S1＝a1＝－，S2＋＋2＝S2－⇒S2＝－，………………………2分
S3＋＋2＝S3－S2⇒S3＝－，S4＋＋2＝S4－S3⇒S4＝－．……………………4分
猜想：Sn＝－(n∈N＋)．…………………………………………………………5分
(2)证：①当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－，右边＝－＝－.
∵左边＝右边，∴原等式成立．………………………………………………………6分
②当n＝k时，假设Sk＝－成立，由Sk＋1＋＋2＝Sk＋1－Sk得……………7分
＝－Sk－2＝－2＝＝＝－，………………………8分
∴Sk＋1＝－＝－，∴当n＝k＋1时，原等式也成立．…………………9分
综合(1)(2)得对一切n∈N＋，Sn＝－成立．……………………………………10分
18、解：(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有即
化简得解得……………………………………4分
(2)由 (1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2. ……………………………………………5分
当x∈(－∞，－2)时， f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．…………8分
可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在上的最小值为f(2)＝－4. …………12分
20、解： (1)设－u＝k2.
∵售价为10元时，年销量为28万件，
∴－28＝k2，解得k＝2，
∴u＝－22＋＝－2x2＋21x＋18. ………………………………4分
∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108.(x＞6)．
…………………………………………6分
(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．………7分
令y′＝0，得x＝2(∵x＞6，舍去)或x＝9，
显然，当x∈(6,9)时，y′＞0；当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，………………10分
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是增加的；在(9，＋∞)上是减少的，
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．………………………12分
21、解：（Ⅰ）由得, ………………………2分
设则
因为= ………3分
所以解得 …………………………………5分
所以直线的方程为抛物线C的方程为 …………………6分
（Ⅱ）方法1：设依题意，抛物线过P的切线与平行时，△APB面积最大，
，所以 所以………8分
此时到直线的距离 …………………9分
由得， …………………………………10分
∴△ABP的面积最大值为。………………………12分
（Ⅱ）方法2：由得，
设 ，
因为为定值，当到直线的距离最大时，△ABP的面积最大，
因为，
所以当时，max=，此时
∴△ABP的面积最大值为。
22、解：（Ⅰ）因为, 所以,
因此 . ……………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,
. ……………4分
当时，,……………5分
当时， . ……………6分
所以的单调增区间是,
的单调减区间是. ……………7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，, ……………8分
所以的极大值为，极小值为. ……9分
由于,
,………10分
所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当,
因此，的取值范围为. …………12分