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- 2023-12-08 发布
【学习目标】
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
①|a＋b|≤|a|＋|b|；
②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)值．
【高考模拟】
1．已知函数，函数．当时，．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设，当时，的最大值等于．求．
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可知结合绝对值三角不等式的结性质和函数的解析式即可证得题中的结论.
（Ⅱ）由一次函数的性质可知，结合待定系数法可得函数的解析式为.
【详解】
（Ⅰ）证明：由题意得：即
所以，
.
由于，
所以当时，的最大值是或.
所以.
【点睛】
本题主要考查一次函数性质，二次函数解析式的求解，绝对值三角不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．已知函数， ，其中， 均为正实数，且．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，求证．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）把用分段函数来表示，分类讨论，求得的解集．
（Ⅱ）当x∈R时，先求得的最大值为2，再求得）的最小值，根据的最小值减去的最大值大于或等于零，可得成立．
【详解】
（Ⅱ）当时， ；
．
而，
当且仅当时，等号成立，即，因此，当时， ，所以，当时， ．
【点睛】
本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．
3．已知函数（）．
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若，证明．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）若，．零点分段可得不等式的解集为．
（Ⅱ）若，则据此可得
【详解】
（Ⅱ）若，则
当时，，所以
【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
4．设函数的定义域为.
（1）求集合；
（2）设，证明.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）将不等式平方因式分解即可证得.
【详解】
（2）证明，原不等式
由得，原不等式得证.
【点睛】
含绝对值不等式的解法由两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.
5．选修4-5：不等式选讲
(Ⅰ)如果关于x的不等式的解集不是空集，求参数m的取值范围；
(Ⅱ)已知正实数a，b，且，求证：。
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据绝对值的三角不等式求出的最小值，则可得到m的取值范围．(Ⅱ)由不等式可得，即．又，所以，故得．
【详解】
(Ⅰ) ∵，当且仅当，即时等号成立，
∴
∴参数m的取值范围为．
【点睛】
（1）运用绝对值的三角不等式解题时要注意等号成立的条件，这点容易被忽视．
（2）证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．证明不等式时要结合题中的条件及不等式的特征，合理选择方法进行证明．
6．设不等式的解集为, .
(1)求集合；
(2) 比较与的大小, 并说明理由．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
令，将转化为分段函数，求解即可得到答案
由可得，比较与两个数的平方差的大小即可得到结果
【详解】
(1)证明: 记,
由, 解得, 则.
【点睛】
本题主要考查了不等式的证明和绝对值不等式的解法，含有绝对值时要去绝对值，在去绝对值时有两种方法：一是分类讨论，写出分段函数形式；二是平方，本题在解答不同类型的题目时运用不同方法，较为基础。
7．选修4-5：不等式选讲
已知函数，不等式的解集为。
（1）求；
（2）证明：当时， .
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用零点分类讨论法求不等式的解集.(2)分和两种情况证明.
【详解】
（1）将绝对值函数化为分段函数，
由，即1），得无解；2），得；3），得无解；
综合上述，不等式的解集为；
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明，考查学生的分类讨论思想方法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理能力.
8．已知函数
（1）设的最大值为，求的最小值；
（2）在（1）的条件下，若，且，求的最大值.
【答案】(1) (2)2
【解析】
【分析】
运用不等式性质求出最小值
根据不等式求最大值
【详解】
（1）∵，
∴（当且仅当时取“=”号）
∴
【点睛】
本题考查了根据绝对值的应用求出不等式的解集，运用不等式性质求解是本题关键，注意题目中的转化。
9．已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，，且，求证：．
【答案】(1) 或 (2)见解析
【解析】分析：（1）根据正负去掉绝对值，化为，分段解不等式即可；（2）即，两边平方做差，分解因式即可.
详解：
（1）
当时，由，解得；
当时，不成立；
当时，由，解得.
所以不等式的解集为或.
点睛：这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，不等式比较大小的应用，一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.
10．已知.
（1）求函数的最大值为；
（2）在第（1）问的条件下，设，且满足,求证：
.
【答案】（1）2；（2）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将代入，对x分类讨论，并根据x的范围确定的最大值。
（Ⅱ）因为，由进行化简，利用三角不等式结合均值不等式进行证明。
【详解】
（Ⅰ），即
知.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，均值不等式的简单应用，注意分类讨论思想的重要应用，属于中档题。
11．已知函数的定义域为.
（1）若，解不等式；
（2）若，求证：.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
分析：（1）由可得
，然后将不等式中的绝对值去掉后解不等式可得所求．（2）结合题意运用绝对值的三角不等式证明即可．
详解：（1），即，则，
∴，
∴不等式化为．
①当时，不等式化为，
解得；
②当时，不等式化为，
解得.
综上可得．
∴原不等式的解集为.
点睛：含绝对值不等式的常用解法
（1）基本性质法：当a>0时，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a．
（2）零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
（3）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
（4）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
12．已知函数
（1）当，求函数的定义域；
（2）当时，求证：
【答案】(1).
(2)证明见解析.
【解析】分析：（1）函数有意义，则，据此可得.
（2）由题意结合绝对值三角不等式的性质证得题中的结论即可.
（2）
，当且仅当时等号成立.
点睛：绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
13．选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(I)当时，解不等式；
(Ⅱ)若关于的不等式的解集为，求证: .
【答案】（1）或（2）见解析
【解析】分析：(Ⅰ)把代入不等式，根据绝对值不等式的零点分类讨论，即可求出不等式的解集。
(Ⅱ)通过解绝对值不等式，结合不等式的解集确定的值；根据绝对值不等式的解法即可证明。
详解：(I)当时，不等式为，
当时，原不等式可化为，解之得，
当时，原等式可化为，解之得，不满足，舍去；
当时，原不等式可化为，解之得；
不等式的解集为或
点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题。
14．若关于的不等式的解集为,记实数的最大值为.
(1)求的值；
(2)若正实数满足,求的最小值.
【答案】（1）3；（2）3
【解析】分析：（1）将问题转化为，只需求出的最小值即可．（2）结合，利用基本不等式求解即可．
详解：（1）由题意得
．
（2）由（1）得，且，
∴
．
当且仅当且，即时等号成立．
，
即的最小值为3．
点睛：绝对值三角不等式和基本不等式都是求最值的常用方法，解题时要根据题意选择合适的方法进行求解，同时也要注意这两种方法的使用条件．
15．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数，为不等式的解集.
（1）求；
（2）证明：当时，.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】分析：（1）对取绝对值，然后解不等式；（2）算出ab的范围，进行分类讨论
（2）证明：根据题意，得，
∴或，
要证成立，
即证成立，
即证成立，
，
当时，，；
当时，，，
故，所以式成立.
点晴：分类讨论是解决这类题目的关键，分类讨论思想在高中数学中是重要的一思想，注意在分类的时候要做到不重不漏。
16．已知函数，不等式的解集.
（1）求；
（2）设，证明：.
【答案】（1）或.（2）详见解析.
【解析】分析：（1）将代入不等式整理得
，分类讨论去掉绝对值，即可求解不等式的解集；
（2）由题意，再利用分析法，作出证明即可.
②当时，不等式转化为，
解得，所以此时，
③当时，不等式转化为，
解得，所以此时，
综上或.
点睛：本题主要考查了含绝对值不等式的求解以及分析证明不等式，对于绝对值不等式的求解，分类讨论去掉绝对值号是求解的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
17．选修4-5：不等式选讲
设.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求证：.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】分析：（1）若a=2，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）利用绝对值三角不等式证明即可.
详解：（1）不等式可化为，
即或或；
解得或或，
所以.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
18．设函数的最小值为.
(1)求不等式的解集；
(2)已知，证明: .
【答案】（1）（2）见解析
【解析】分析：（1）根据绝对值不等式的性质求出m的值，通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）原问题等价于，利用作差法即可证明.
详解：(1)因为 ,当,
即时取等号,则的最小值为,所以.
由,得
即,所以不等式的解集是.
(2)
因为，则，得同理
所以
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
19．[选修4—5：不等式选讲]
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若证明：
【答案】（1）（2）见解析
【解析】分析：（Ⅰ）用零点分段讨论即可.
（Ⅱ）要证明原不等式成立，也就是证明及
，前者根据绝对值的性质必成立，后者因，故也即是，故原不等式得到证明.
（Ⅱ）法一：要证，只需证，
即证（*）.
因为，又由（Ⅰ），则，即，
所以（*）式显然成立，故原命题得证.
法二：因为 ，故要证，
只需证 ，即证.
由（Ⅰ）上式显然成立，故原命题得证.
点睛： （1）解绝对值不等式，关键是如何去掉绝对值符号（可讨论绝对值符号内代数式的正负）.
（2）利用和可对含绝对值的不等式进行放缩，进而改良某些代数式的结构，便于不等式的证明.
20．设函数，.
（1）证明：；
（2）若不等式的解集是非空集，求的范围.
【答案】（1）2；（2）
【解析】分析：（1）分类讨论去绝对值符号比较麻烦，利用绝对值不等式消去可证.
（2）有解即是，利用零点分类讨论可以得到，从而可得关于的不等式，其解为实数的取值范围.
（2），.
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
于是的值域为.
由不等式的解集是非空集，即，
解得，由于，则的取值范围是.
点睛：（1）利用和可对含绝对值的不等式进行放缩（注意验证取等号的条件）；
（2）含参数的不等式的有解问题，可转变为函数的最值问题.
21．已知函数．
(1)若的最小值为，求的值；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1) 或；(2)
【解析】
【分析】
(1)利用绝对值三角不等式求的最小值为|a-3|=4,即得a的值.(2)分
讨论分别得到a的取值范围，即得的取值范围．
【详解】
(1) 的最小值为
解得或．
(2)
①时，恒成立等价于恒成立
即在时恒成立
即
解得
【点睛】
（1）本题主要考查绝对值三角不等式，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 重要绝对值不等式：
,使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.
22．已知，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，根据零点分段法去掉绝对值，建立不等式组，解不等式组取并集即可；
（2）根据化简函数，将恒成立，问题转化为恒成立，解绝对值不等式，令为其子集，即可求得的取值范围.
【详解】
（2）当时，，
即为恒成立，
，即
，即，在上恒成立，
所以，只需，解得，
所以的取值范围为．
【点睛】
本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法.
函绝对值的不等式的解法：
（1）定义法；即利用去掉绝对值再解
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；
（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；
（4）图象法或数形结合法；
（5）不等式同解变形原理。
23．已知函数
（Ⅰ）若不等式恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）求不等式的解集．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或。
【解析】
【分析】
(1)由绝对值三角不等式得到，故恒成立得，解此不等式即可；（2）不等式
等价于或，去掉绝对值得到，根据图像可得到结果.
【详解】
（Ⅱ）不等式等价于或，
．
由得
由得
如图所示：
由图可得原不等式的解集为或．
【点睛】
这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的值域问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.
24．已知函数
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围.
【答案】(1) 解集为;(2) 的取值范围为.
【解析】
【分析】
（1）分段去绝对值解不等式即可；
（2））等价于，由，去绝对值得，列不等式求解即可.
【详解】
（2）等价于．
当时，等价于，即，
若的解集包含，则[，，即．
故满足条件的的取值范围为．
【点睛】
绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
25．[选修4—5：不等式选讲]
已知函数。
（Ⅰ）当时，求的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，求的取值范围。
【答案】(I) (−∞,−1)∪(3,+∞)；(Ⅱ) m⩽1
【解析】
【分析】
（Ⅰ）代入m的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）根据绝对值的性质求出|x+1|+|x﹣3|的最小值，求出m的范围即可．
【详解】
(Ⅱ)不等式f(x)⩾3，即|x+1|+|x−3|⩾m+3的解集为R，
因为|x+1|+|x−3|⩾|x+1−x+3|=4，
所以m+3⩽4，即m⩽1.
【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
26．已知，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，根据零点分段法去掉绝对值，建立不等式组，解不等式组取并集即可；
（2）根据化简函数，将恒成立，问题转化为恒成立，解绝对值不等式，令为其子集，即可求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，不等式即为，
①当时，不等式化为，解得；
②当时，不等式化为，解得；
③当时，不等式化为，无解；
综上，不等式的解集为．
（2）当时，，
即为恒成立，
，即
，即，在上恒成立，
所以，只需，解得，
所以的取值范围为．
【点睛】
本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法.
函绝对值的不等式的解法：
（1）定义法；即利用去掉绝对值再解
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；
（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；
（4）图象法或数形结合法；
（5）不等式同解变形原理。
27．已知．
（1）证明：；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
(1)根据绝对值三角不等式得到 ;(2)，则，故，分情况去掉绝对值解出不等式即可.
【详解】
（1）证明： ．
（2）解：若，则，
故
∴或 ，
解得：．
∴实数的取值范围为．
【点睛】
这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.
28．已知函数，.
（1）解不等式；
（2）若存在,使得成立, 求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先求、两个函数值域，再根据它们交集非空列不等式，解得实数的取值范围.
【详解】
（Ⅱ）存在,使得成立，即、两个函数值域有交集
由，知，
由，知
所以，即为所求.
【点睛】
含绝对值不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.