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- 2023-12-05 发布
2019年(二)期末考试高一数学测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.1.在数列中，，则的值为（ ）
A. 49 B. 50 C. 51 D. 52
【答案】C
【解析】
试题分析：,数列是等差数列，通项为
考点：等差数列通项公式
2.2.已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由过点和的直线与直线平行，根据斜率相等即可求解．
【详解】因为直线的斜率等于，
所以过点和的直线与直线平行，所以,
所以，解得，故选B．
【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系，以及两点间的斜率公式的应用，其中熟记两条直线的位置关系和斜率公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
3.3.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为( )
12
A. 12cm2 B. 15πcm2 C. 24πcm2 D. 36πcm2
【答案】C
【解析】
此几何体为一个圆锥，其表面积为.
4.4.如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（ ）
A. 2 B. －2 C. 2,－2 D. 2,0,－2
【答案】C
【解析】
(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.
5.5.已知圆，则两圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意求出两圆的圆心坐标和半径，利用圆心距和两圆的半径之间的关系，即可求解．
【详解】由题意，可知圆，即为，表示以为圆心，半径为1的圆，圆，即为，表示以为圆心，半径为3的圆，
由于两圆的圆心距等于等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，故选D.
【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中熟记两圆的位置关系的判定的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
6.6.一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为( )
A. 27π B. 18π
C. 19π D. 54π
【答案】A
【解析】
设正方体的棱长为，则，解得。
设球的半径为，则由正方体的体对角线等于球的直径得，解得。
12
所以球的表面积为。选A。
7.7.若a，b∈R且a＋b＝0，则2a＋2b的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
解：a，b∈R且a＋b＝0，则2a＋2b，选A
8.8.数列前项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，故选B.
9.9.已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
A. 5 B. 3 C. 1 D. -4
【答案】A
【解析】
分析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定最优解的取值之处，据此求解最大值即可.
详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
本题选择A选项.
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点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
10. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 200＋9π B. 200＋18π
C. 140＋9π D. 140＋18π
【答案】A
【解析】
试题分析：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和,长方体的三度为：,圆柱的底面半径为，高为，所以几何体的体积,故选A．
考点：三视图求面积，体积.
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12
11.11.若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是 ( )
A. (x－)2＋y2＝5 B. (x＋)2＋y2＝5
C. (x－5)2＋y2＝5 D. (x＋5)2＋y2＝5
【答案】D
【解析】
试题分析：设圆心为 ，因为直线与圆相切，所以圆的方程为
（x＋5）2＋y2＝5
考点：圆的方程
12.12.动直线：（）与圆：交于点，，则弦最短为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：因为直线经过（2，﹣2），因为圆C截得的弦AB最短，则和AB垂直的直径必然过此点，则求出此直径所在直线的方程，根据两直线垂直得到两条直线的斜率乘积为﹣1，即可求出m值，然后利用勾股定理即可求出最短弦.
详解：由直线l：可知直线l过（2，﹣2）；
因为圆C截得的弦AB最短，则和AB垂直的直径必然过此点，
且由圆C化简得
则圆心坐标为（1，2）
然后设这条直径所在直线的解析式为l1：y=mx+b，
把（2，﹣2）和（1，2）代入求得y=﹣4x+6，
因为直线l1和直线AB垂直，两条直线的斜率乘积为﹣1，所以得m=﹣4，
即直线：
弦最短为
故选：D．
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点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.13.若a＜b＜0，则与的大小关系为________．
【答案】
【解析】
【分析】
作差化简，根据差的符号判断大小.
【详解】
【点睛】本题考查作差法比较大小，考查基本论证能力.
14.14.ΔABC中，若,那么角B=___________
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理，条件可化为，再根据余弦定理，可求得答案．
【详解】由题意，
由正弦定理可得，所以，
又因为，所以.
【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
15.15.已知x,y满足－4－4＋＝0, 则的最大值为____
【答案】
【解析】
【分析】
现化简曲线的方程，判定曲线的形状，在根据的意义，结合图形即可求解．
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【详解】由题意，曲线，即为，
所以曲线表示一个圆心在，半径为的圆，
又由表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为，
所以原点到圆上的点的最大距离为，
所以的最大值为．
【点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把转化为原点到圆上的点之间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
16.16.—个半球的全面积为,一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：设半球的半径和圆柱的底面半径为，高为，则，又．
考点：表面积和体积.
【方法点晴】本主要考查表面积和体积，由于本题涉及方程思想，综合性较强，属于较难题型．通过研析题设条件，由半球的全面积可得，再由圆柱与此半球等底等体积可得，从而得圆柱的全面积为，本 题要求考生具有一定方程思想和逻辑推理能力.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.17.直线l经过两直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.
(1)求直线l的方程.
(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.
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【答案】（1）；（2）或
【解析】
试题分析：（1）解方程组可得直线的交点为(1,6)，然后根据垂直可得直线l的斜率，由点斜式可得l的方程；（2）有点到直线的距离公式可得，解得a=1或a=6，即为所求。
试题解析：
(1)由得
所以直线l1与l2的交点为(1,6),
又直线l垂直于直线x-2y-6=0,
所以直线l的斜率为k=-2，
故直线l的方程为y-6=-2(x-1),
即2x+y-8=0.
(2)因为点P(a,1)到直线l的距离等于,
所以=,
解得a=1或a=6.
所以实数a的值为1或6.
18.18.已知公差不为0的等差数列的首项,且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据成等比数列，求得，即可得到数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用裂项法即可求解．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，，成等比数列，
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（2）由（1）知，
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“列项法求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
19.19.如图，已知三角形的顶点为，，，求：
（）边上的中线所在直线的方程．
（）求的面积．
【答案】（1）；（2）11.
【解析】
试题分析：（1）AB中点M的坐标是
中线CM所在直线的方程是，
即2x＋3y－5＝0； 6分
（2）8分
直线AB的方程是
点C到直线AB的距离是12分
所以△ABC的面积是14分
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考点：考查了求直线方程，两点间的距离，点到直线的距离公式．
点评：解本题的关键是由A、B两点的坐标求出AB中点的坐标，利用两点式求出直线的方程，利用两点间的距离公式求出三角形的一条边长，再利用点到直线的距离公式求出这条边上的高，求出三角形的面积．
20.20.已知点，求
（1）过点A,B且周长最小的圆的方程；
（2）过点A,B且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)当为直径时，过的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程．
(2) 解法1：的斜率为时，则的垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标和圆的半径，得到圆的标准方程；
解法2：设圆的方程为：，列方程组，求得的值，即可得到圆的方程．
【详解】(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，
半径r＝|AB|＝.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.
(2) 解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.即x－3y＋3＝0
由圆心在直线上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C(3,2)．
r＝|AC|＝＝2.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法2：待定系数法
设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则
∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【点睛】
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本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的标准方程和根据题设条件，求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
21.21.在中，，，．
（）求的值．
（）求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由面积公式代入条件可得解；
（2）由余弦定理，解得，再由正弦定理求解即可.
试题解析：
（）由和得，
∴，
又，
∴，．
（）∵，，，
∴由余弦定理得，
∴，
由正弦定理可知，
即，
∴．
22.22.已知曲线
(1)若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；
(2)若曲线表示圆时，已知圆与圆交于两点，若弦所在的直线方程为，为圆的直径，且圆过原点，求实数的值.
【答案】（1）或(即) ；(2) ．
【解析】
试题分析：（1）由已知条件推导出圆心C（1，2），2为半径，由此利用点到直线的距离公式结合已知条件能求出m=1．
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（2）求出圆的方程，两圆相减得公共弦方程，即得m.
试题解析：
（1） 当时, 曲线C是以为圆心,2为半径的圆,
若直线的斜率不存在,显然不符，
故可直线为:，即．
由题意知，圆心到直线的距离等于，
即:
解得或．故的方程或(即)
(2)由曲线C表示圆，即，
所以圆心C（1,2），半径，则必有．
设过圆心且与垂直的直线为：，解得；
，所以，圆心
又因为圆过原点，则；
所以圆的方程为，整理得：；
因为为两圆的公共弦，两圆方程相减得：；
所以为直线的方程；又因为；所以．
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