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- 2023-12-03 发布
2019学年度第二学期期末考试
高二年级 数学（理科）试卷
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．作答时，请将各题答案填在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
第I卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 若（为虚数单位），则复数（ ）
(A) (B) (C) (D)
2．设集合， ， ，则中的元素个数为（ ）
(A) (B) (C) (D)
3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是( )
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
4.为第三象限角，，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
5.第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5
名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为（ ）
(A) 540 (B) 300 (C) 180 (D) 150
6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）
(A) (B) (C) (D)
7.已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
(A) (B) (C) (D)
8.下列有关统计知识的四个命题正确的是（ ）
(A)衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切。
(B)在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差。
(C)线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点。
(D)线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位。
9.某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为，则的数学期望为（ ）
(A) (B) (C) (D)
10.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为( )
（A） （B） （C） （D）
11.给出下列四个函数：①；②；③；④.
这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
(A)①④②③ (B) ①④③② (C) ④①②③ (D) ③④②①
12.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）（A) (B) (C) (D)
第II卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.二项式的展开式中的系数为，则________.
14.已知向量与的夹角为，，，则_________．
15.已知实数，满足不等式组，则的最大值是__________．
16.2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:
爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.
比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是 ．
三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题每题各12 ，第22题
10分。
17.（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
18.（本小题满分12分） 深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：
球队胜
球队负
总计
甲参加
甲未参加
总计
（1）求的值，据此能否有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：0.4,0.2,0.6,0.2.则：
当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
附表及公式：
.
19．（12分）如图，在中，，是的中点，
是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．
（l）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
20.（本小题满分12分）如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为．
（l）求椭圆的标准方程；
（2）若，是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：，，三点共线．
21.（本小题满分12分）已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；
22.（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若，求的取值范围．
2017_2018学年度第二学期期末 高二理科 数学 参考答案
第I卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 若（为虚数单位），则复数（ B ）
(A) (B) (C) (D)
2．设集合， ， ，则中的元素个数为（ C ）
(A) (B) (C) (D)
3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是( C )
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
4.为第三象限角，，则（ B ）
(A) (B) (C) (D)
5.第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为 （ D ）
(A) 540 (B) 300 (C) 180 (D) 150
6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ A ）
(A) (B)
(C) (D)
7.已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）
(A) (B)
(C) (D)
8.下列有关统计知识的四个命题正确的是（ A ）
(A)衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切。
(B)在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差。
(C)线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点。
(D)线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位。
9.某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为，则的数学期望为（C ）
(A) (B) (C) (D)
10.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为( D )
（A） （B） （C） （D）
11.给出下列四个函数：①；②；③；④.
这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( A )
(A)①④②③ (B) ①④③② (C) ④①②③ (D) ③④②①
12.已知函数，若，则实数的取值范围是（ D ）
（A) (B) (C) (D)
第II卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.二项式的展开式中的系数为，则________.
14.已知向量与的夹角为，，，则____6______．
15.已知实数，满足不等式组，则的最大值是___12_______．
16.2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:
爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.
比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是 丙 ．
三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题每题各12 ，第22题10分。
17.（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以
解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n..........(6分）
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝＝，
所以Tn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝
即数列{bn}的前n项和Tn＝ ...........(12分）
18.（本小题满分12分） 深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：
球队胜
球队负
总计
甲参加
甲未参加
总计
（1）求的值，据此能否有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：
0.4,0.2,0.6,0.2.则：
当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
附表及公式：
.
解：（1）,
有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关...........（6分）
（2）设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋 ”；表示“乙球员担当后卫”；表示“乙球员担当守门员”；表示“球队输掉某场比赛”，则
.
................(12分）
19．（12分）如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．
（l）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
解:（1）因为，所以，又，，
所以，又因为，
所以是的斜边上的中线，
所以是的中点，又因为是的中点。所以是的中位线，所以，
又因为平面，平面，所以平面．........(5分）
（2）据题设分析知，，，两两互相垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为，且，分别是，的中点，
所以，，
所以，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，所以，令，则，
设直线与平面所成角的大小为，则．
故直线与平面所成角的正切值为．..............(12分）
20.（本小题满分12分）如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为．
（l）求椭圆的标准方程；
（2）若，是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：，，三点共线．
解：（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，
所以，解得．
又椭圆经过点，所以．
所以．所以椭圆的标准方程为．...........（4分）
（2）因为线段的中垂线的斜率为，
所以直线的斜率为．所以可设直线的方程为．
据得，设点，，，
所以，，
所以，，
因为，所以，所以点在直线上，
又点，也在直线上，
所以，，三点共线．..............(12分）
21.（本小题满分12分）已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；
解：（1）由，得.
由题意，，所以. …………（4分）
（2）.
因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立.
问题等价于函数，
即在上为增函数，
所以在上恒成立.即在上恒成立.
所以，即实数的取值范围是. …………（12分）
22.（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
解答：（Ⅰ）因为，
由正弦定理可得．
即，所以．
因为在△ABC中，，所以又，
所以，．所以△ABC为的直角三角形．...............(5分）
（Ⅱ）因为=．
所以．因为△ABC是的直角三角形，
所以，且，所以当时，有最小值是．
所以的取值范围是．................（10分）