2017-2018学年辽宁省实验中学、东北育才学校高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版） 10页

‎2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二下学期期末考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知随机变量服从正态分布，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：‎ 经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.将本不同的书全部分给甲乙丙三若，每人至少一本，则不同的分法总数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎6.若的二项展开式各项系数和为，为虚数单位，则复数的运算结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知均为正实数，则下列三个数，，（ ）‎ A．都大于 B．至少有一个不大于 C.都小于 D．至少有一个不小于 ‎9.甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以获得比赛胜利的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知，若，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.袋中装有个黑球，个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是 ．‎ ‎14.在二项式的展开式中，的系数为 ．‎ ‎15.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．‎ ‎16.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”‎ 请你将这一发现视为条件，若函数，则它的对称中心为 ；并计算 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 袋中装有个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是.‎ ‎（1）求白球的个数；‎ ‎（2）从袋中任意摸出个球，记得到白球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎18. 已经函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎19. 某企业响应省政府号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表是设备改造后的样本的频数分布表.‎ 表：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 频数 ‎（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；‎ 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 不合格品 合计 ‎（2）根据频率分布直方图和表 提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；‎ ‎（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行登记细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价元；其它的合格品定为三等品，每件售价元.根据表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.‎ 附：‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若在有两个零点，求的取值范围. ‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若曲线与直线相切，求实数的值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，证明.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与交于，两点，求的值.‎ ‎23.设函数的最小值为.‎ ‎（1）求实数 的值；‎ ‎（2）已知，且满足，求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: AADCB 6-10: CCDBC 11、12：B、A 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. 、‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）设黑球的个数为，则白球的个数为.‎ 记两个都是黑球得的事件为，则至少有一个白球的事件与事件为对立事件 所以，解得，所以白球的个数为．‎ ‎（2）离散型随机变量X的取值可能为：‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以的分布列为 因为服从超几何分布，，所以 ‎18. 解：（Ⅰ）在区间上，.‎ ‎①若，则，是区间上的减函数；‎ ‎②若，令得.‎ 在区间上，，函数是减函数；‎ 在区间 上，，函数是增函数；‎ 综上所述，①当时，的递减区间是，无递增区间；‎ ‎②当时，的递增区间是，递减区间是．‎ ‎（II）因为函数在处取得极值，所以 解得，经检验满足题意．‎ 由已知，则 令，则 易得在上递减，在上递增，‎ 所以，即.‎ ‎19. .解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．‎ 完成下面的列联表：‎ 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 不合格品 合计 将列联表中的数据代入公式计算得：‎ 有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关 ‎（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．‎ 可知，设备改造前产品为合格品的概率约为 设备改造后产品为合格品的概率约为 设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．‎ ‎（3）由表知：‎ 一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；‎ 二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；‎ 三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为．‎ 由已知得：随机变量的取值为：.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎.‎ ‎20. （1）证明：当时，函数.则，‎ 令，则，令，得.‎ 当时，，当时，‎ 在单调递增，‎ ‎（2）解：在有两个零点方程在有两个根，‎ 在有两个根，‎ 即函数与的图像在有两个交点．，‎ 当时，，在递增 当时，，在递增 所以最小值为，当时，，当时，，在有两个零点时，的取值范围是．‎ ‎21. 解：（1）由，得，设切点横坐标为，依题意得， 解得．‎ ‎（2）不妨设，由，得，‎ 即，所以 ‎ ，‎ 设，则，，‎ 设，则，即函数在上递减，‎ 所以，从而，即 ‎22. 解：（1）由（为为参数），可得的普通方程为 又的极坐标方程为，即，‎ 所以的直角坐标方程为．‎ ‎（2）的参数方程可化为（为参数），‎ 代入得：，‎ 设，对应的直线C1的参数分别为，则，，‎ 即，‎ 所以.‎ ‎23. 解：（1）函数 ‎ 故的最小值.‎ ‎（2）由（1）得，故，‎ 故 ‎ ‎，‎ 当且仅当，即时“”成立． ‎