- 409.50 KB
- 2023-12-02 发布
绝密★启用前
2016—2017学年度下期
高二文科数学
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1、已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁RB=（ ）
A.{x|x≤0} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x＜1或x＞2} D.{x|0≤x＜1或x≥2}
2、设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（ ）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
3、已知a∈R，则“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）
A．13，12 B．13，13 C．12，13 D．13，14
5、已知向量，，且，则等于（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
6、如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．a2＜ab B.﹣ab＜﹣b2 C． D．
7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
8、执行如图（左边7题右下）所示的程序框图，输出n的值为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
9、已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．1
10、过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F，作圆x2+y2=的一条切线，切点为E，延长FE与双曲线的右支交于点P，若E是线段FP的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11、曲线y=4x﹣x3，在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（ ）
A．y=7x+4 B．y=x﹣4 C．y=7x+2 D．y=x﹣2
12、设函数f（x）=exsinπx，则方程xf（x）=f'（x）在区间（﹣2014，2016）上的所有实根之和为（ ）
A．2015 B．4030 C．2016 D．4032
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13、已知实数x，y满足，则的取值范围是 ．
14、曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为 ．
15、已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________ ．
16、已知函数f（x）=x3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示．则下列说法中不正确的编号是 ．（写出所有不正确说法的编号）
（1）当x=时函数取得极小值；（2）f（x）有两个极值点；
（3）c=6； （4）当x=1时函数取得极大值．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求
作答。
（一）必考题：共60分。
17、（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（，1），=（cosA+1，sinA），且•的值为2+．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=，cosB=，求△ABC的面积．
18、（12分）如图所示，正三角形所在平面与梯形所在平面垂直，，，
为棱的中点.
（1）求证:平面；
（2）若直线与平面所成的角为30°，
求三棱锥的体积.
19、（12分）、某校开展“翻转合作学习法”教学实验，经过一年的实践后，对“翻转班”和“对照班”的全部220名学生的数学学习情况进行测试，按照大于或等于120分为“成绩优秀”，120分以下为“成绩一般”统计，得到如下的2×2列联表．
成绩优秀
成绩一般
合计
对照班
20
90
110
翻转班
40
70
110
合计
60
160
220
（Ⅰ）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关；
（Ⅱ）为了交流学习方法，从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样方法抽出6名学生，再从这6名学生中抽3名出来交流学习方法，求至少抽到一名“对照班”学生交流的概率．
附：：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20、（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，﹣1），
离心率e=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过M（0，m）（﹣1＜m＜0）的直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线L如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出m的值及点T的坐标；若不存在，请说明理由．
21、（12分）已知函数f（x）=x2﹣4x+2（1﹣a）lnx，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[e，+∞）上的最小值．
四、选考题：共10分。请考生在地22、23题中任选一题作答。如多做，则按所做的第一题计分。
22、(10分)已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
23、(10分)已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|，a∈R．
（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）若∀x∈R，|f（x）|≤2恒成立，求a的取值范围．
高二文科试卷答案
一、选择题1.C 2.B 3.A 4.B 5. D 6.B 7.A 8.B 9.C 10.A 11.D 12.B
二、填空题
13.[1，] 14. 15.6 16.（1）
三、解答题
17.【解答】解：（1）∵=2+．
∴．
（2）∵，
∴，
∴由，得，
∴．
18、
（2）取中点，连接，
易知平面，∴与平面所成的角为，
∵中，，∴，
∵为正三角形，为的中点，
∴且，
∵平面平面，∴平面，
又∵为的中点，∴点到平面的距离为，
∵，
∴，
∴.
19.【解答】解：（Ⅰ）根据列联表中的数据，计算
K2=≈9.167＜10.828，
对照临界值表知，不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下
认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关；
（Ⅱ）这次测试数学成绩优秀的学生中，对照班有20人，翻转班有40人，
用分层抽样方法抽出6人，对照班抽2人，记为A、B，翻转班抽4人记为c、d、e、f；
再从这6人中抽3人，基本事件是
ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、
Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef、cde、cdf、cef、def共20种不同取法；
至少抽到一名“对照班”学生的基本事件是
ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、
Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef共16种，
故所求的概率为P==．
20、【解答】解：（1）由题意，b=1， =，
∴a=2，b=1，c=1，
∴椭圆C的方程为=1；
（2）①当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1
②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=m，
此时以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣m）2=2（1﹣m）2，与x2+y2=1联立，得y=，
∵（x，）在椭圆上，
∴=1，
∵﹣1＜m＜0，∴m=﹣，
∴m=﹣，在椭圆上可能存在定点T（0，1）满足条件；
③斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），
与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，
∴x1+x2=，x1x2=﹣，
=（k2+1）x1x2﹣k（x1+x2）+=（k2+1）（﹣）﹣k•+=0，
∴过M（0，﹣）的直线l斜率存在时，以AB为直径的圆过定点T（0，1），
综上所述，m=﹣时，过M（0，﹣）的直线无论如何转动，以AB为直径的圆过定点T（0，1）．
21、【解答】解：（1）a=2时，f（x）=x2﹣4x﹣2lnx，
f′（x）=2x﹣4﹣=，
令f′（x）＞0，解得：x＞1+或x＜1﹣（舍），
令f′（x）＜0，解得：x＜1+，
故f（x）在（0，1+）递减，在（1+，+∞）递增；
（2）f′（x）=2x﹣4+=，
令g（x）=（x﹣1）2﹣a，
2＜a≤（e﹣1）2时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，
f（x）在[e，+∞）递增，f（x）min=f（e）=e2﹣4e+2（1﹣a），
a＞（e﹣1）2时，令g（x）＞0，解得：x＞1+，或x＜1﹣（舍），
令g（x）＜0，解得：e＜x＜1+，
故f（x）在[e，1+）递减，在（1+，+∞）递增，
故f（x）min=f（1+）．
22.【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；
（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，
过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，
由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．
23.【解答】解：（Ⅰ） 由|x+1|﹣|x﹣4|≥4得：
①或 ②或 ③，
综上所述f（x）≥4的解集为．
（Ⅱ）∀x∈R，|f（x）|≤2恒成立，可转化为|f（x）|max≤2
分类讨论
①当a=4时，f（x）=0≤2显然恒成立．
②当a＜4时，f（x）=，
③当a＞4时，f（x）=，
由②③知，|f（x）|max=|a﹣4|≤2，
解得2≤a≤6且a≠4，
综上所述：a的取值范围为 ．