2021高考数学大一轮复习考点规范练28数系的扩充与复数的引入理新人教A版 5页

考点规范练28　数系的扩充与复数的引入 ‎　考点规范练B册第17页　 ‎ 基础巩固 ‎1.设i为虚数单位,则复数(1+i)2=(　　)‎ A.0 B.2 C.2i D.2+2i 答案:C 解析:由题意,(1+i)2=1+2i+i2=2i,故选C.‎ ‎2.(2019北京,理1)已知复数z=2+i,则z‎·‎z=(　　)‎ A‎.‎‎3‎ B‎.‎‎5‎ C.3 D.5‎ 答案:D 解析:∵z=2+i,‎∴‎z=2-i.‎ ‎∴z‎·‎z=(2+i)(2-i)=5.故选D.‎ ‎3.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)‎ 答案:B 解析:设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以a+1<0,‎‎1-a>0,‎解得a<-1.故选B.‎ ‎4.若a为实数,且‎2+ai‎1+i=3+i,则a=(　　)‎ A.-4 B.-3 C.3 D.4‎ 答案:D 解析:由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,故a=4.‎ ‎5.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是(　　)‎ A‎.‎z=-1-i B‎.‎z=-1+i C.|z|=2 D.|z|=‎‎2‎ 答案:D 解析:z=1-i,|z|=‎1+1‎‎=‎‎2‎,故选D.‎ 5‎ ‎6.(2019全国Ⅲ,理2)若z(1+i)=2i,则z=(　　)‎ A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 答案:D 解析:z=‎2i‎1+i‎=‎2i(1-i)‎‎(1+i)(1-i)‎=‎‎2+2i‎2‎=1+i.故选D.‎ ‎7.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=(　　)‎ A.2 B.-2 C.1+i D.1-i 答案:A 解析:由题意可知z2=1-i,‎ 故z1z2=(1+i)·(1-i)=2.故选A.‎ ‎8.若复数z=‎1+ia-i(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则z的虚部为(　　)‎ A.1 B.i C.2 D.2i 答案:A 解析:z=‎‎1+ia-i‎=‎(1+i)(a+i)‎‎(a-i)(a+i)‎=a-1+(a+1)ia‎2‎‎+1‎.‎ 因为z是纯虚数,所以a-1=0,‎a+1≠0,‎解得a=1,所以z的虚部为‎1+1‎‎1‎‎2‎‎+1‎=1,故选A.‎ ‎9.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数z‎1‎‎2‎z‎2‎所对应的点在复平面内的(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:B 解析:∵z1=2+2i,z2=1-3i,‎∴z‎1‎‎2‎z‎2‎=‎(2+2i‎)‎‎2‎‎1-3i=‎8i‎1-3i=‎8i(1+3i)‎‎(1-3i)(1+3i)‎=‎‎-24+8i‎10‎=-‎12‎‎5‎‎+‎‎4‎‎5‎i.‎ ‎∴复数z‎1‎‎2‎z‎2‎在复平面内所对应的点的坐标为‎-‎12‎‎5‎,‎‎4‎‎5‎,位于第二象限.故选B.‎ ‎10.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是　　　　　. ‎ 答案:‎‎10‎ 解析:由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=‎‎(-1‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎‎=‎10‎.‎ 5‎ ‎11.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则z‎2‎z‎1‎=　　　　　. ‎ 答案:-1-2i 解析:由题意,得z1=i,z2=2-i,‎ 故z‎2‎z‎1‎‎=‎2-ii=‎‎(2-i)·(-i)‎i·(-i)‎=-1-2i.‎ ‎12.已知a∈R,i为虚数单位.若a-i‎2+i为实数,则a的值为　　　　　. ‎ 答案:-2‎ 解析:‎∵a-i‎2+i=‎(a-i)(2-i)‎‎(2+i)(2-i)‎=‎2a-1‎‎5‎-‎a+2‎‎5‎i为实数,‎ ‎∴-a+2‎‎5‎=0,即a=-2.‎ 能力提升 ‎13.(2019全国Ⅰ,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)‎ A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1‎ C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1‎ 答案:C 解析:设z=x+yi(x,y∈R).‎ 因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=x‎2‎‎+(y-1‎‎)‎‎2‎=1,‎ 则x2+(y-1)2=1.故选C.‎ ‎14.若z=1+2i,则‎4izz-1‎=(　　)‎ A.1 B.-1 C.i D.-i 答案:C 解析:由题意知z=1-2i,则‎4izz-1‎‎=‎4i‎(1+2i)(1-2i)-1‎=‎‎4i‎5-1‎=i,故选C.‎ 5‎ ‎15.设复数z1=-1+3i,z2=1+i,则z‎1‎‎+‎z‎2‎z‎1‎‎-‎z‎2‎=(　　)‎ A.-1-i B.1+i C.1-i D.-1+i 答案:C 解析:∵z1=-1+3i,z2=1+i,‎ ‎∴z‎1‎‎+‎z‎2‎z‎1‎‎-‎z‎2‎=‎-1+3i+1+i‎-1+3i-1-i=‎4i‎-2+2i=‎2i‎-1+i=‎2i(-1-i)‎‎(-1+i)(-1-i)‎=‎‎2i(-1-i)‎‎2‎‎=1-i.故选C.‎ ‎16.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　　,ab=　　　　　. ‎ 答案:5　2‎ 解析:由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a‎2‎‎-b‎2‎=3,‎ab=2,‎解得a‎2‎‎=4,‎b‎2‎‎=1,‎则a2+b2=5,ab=2.‎ ‎17.已知复数z=‎3‎‎+i‎(1-‎3‎i‎)‎‎2‎‎,‎z是z的共轭复数,则z‎·‎z=　　　　　　　　. ‎ 答案:‎‎1‎‎4‎ 解析:∵z=‎3‎‎+i‎(1-‎3‎i‎)‎‎2‎‎=‎3‎‎+i‎-2-2‎3‎i=‎3‎‎+i‎-2(1+‎3‎i)‎=‎(‎3‎+i)(1-‎3‎i)‎‎-2(1+‎3‎i)(1-‎3‎i)‎=‎‎2‎3‎-2i‎-8‎=-‎3‎‎4‎‎+‎‎1‎‎4‎i,故z=-‎3‎‎4‎‎-‎‎1‎‎4‎i,‎ ‎∴z‎·z=‎-‎3‎‎4‎+‎1‎‎4‎i‎-‎3‎‎4‎-‎1‎‎4‎i=‎3‎‎16‎+‎1‎‎16‎=‎1‎‎4‎.‎ ‎18.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,则λ的取值范围是　　　　　　　　　. ‎ 答案:‎‎-‎9‎‎16‎,7‎ 解析:由复数相等的充要条件可得m=2cosθ,‎‎4-m‎2‎=λ+3sinθ,‎化简,得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=4sinθ-‎‎3‎‎8‎‎2‎‎-‎‎9‎‎16‎,‎ 因为sinθ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sinθ∈‎-‎9‎‎16‎,7‎.‎ 所以λ的取值范围为‎-‎9‎‎16‎,7‎‎.‎ 高考预测 5‎ ‎19.若z是z的共轭复数,且满足z(1-i)2=4+2i,则z=(　　)‎ A.-1+2i B.-1-2i C.1+2i D.1-2i 答案:B 解析:‎∵‎z(1-i)2=4+2i,‎∴‎z(-2i)=4+2i.‎ ‎∴‎z‎=(2+i)i=-1+2i.∴z=-1-2i.故选B.‎ 5‎