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- 2023-12-01 发布
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第2章 2.4.2 第1课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析： 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心(3,0)到抛物线准线x＝－的距离为4，
∴＝1，∴p＝2，故选C.
答案： C
2．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝±x
C．y2＝－x D．y2＝±x
解析： 当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．
∵A，∴＝p，即p＝.∴y2＝x.
同理，当抛物线开口向左时，抛物线标准方程为y2＝－x.
答案： B
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y轴的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．相切 D．不确定
解析：
如图，|PP2|＝|PP1|－|P1P2|
＝(|MM1|＋|FF1|)－|P1P2|
＝(|MM2|＋|M1M2|＋|FO|＋|OF1|)－P1P2
＝(|MM2|＋|OF|)
＝|MM1|＝|MF|，
∴该圆与y轴相切．
答案： C
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析： y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为.
过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，
令x＝0，得y＝－.∴×·＝4，
∴a2＝64，
∴a＝±8，所以抛物线方程为y2＝±8x，故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．抛物线的焦点与双曲线－＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程是________．
解析： 在双曲线－＝1中，a2＝16，b2＝9，
∴c＝＝＝5，
∴焦点坐标是F1(－5,0)，F2(5,0)．
当抛物线焦点是F1(－5,0)时，＝5，
准线方程是x＝5；
当抛物线焦点是F2(5,0)时，＝5，
准线方程是x＝－5，
所以应填x＝－5或x＝5.
答案： x＝±5
6．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足＝3，则弦AB
的中点到准线的距离为________．
解析： 如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由题意设AB的方程为
y＝k(x－1)(k≠0)，
由，
消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴xA·xB＝1，
又∵＝3，
∴xA＋3xB＝4，
解得xA＝3，xB＝，
∴AB的中点M到准线的距离|MN|＝＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若O·A＝－4，求点A的坐标．
解析： 由y2＝4x，知F(1,0)．
∵点A在y2＝4x上，
∴不妨设A，
则O＝，A＝.
代入O·A＝－4中，
得＋y(－y)＝－4，
化简得y4＋12y2－64＝0.
∴y2＝4或－16(舍去)，y＝±2.
∴点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．
8．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．
解析： 当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程是y2＝2px(p>0)，则焦点F，直线l为y＝x－.
设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A、B分别向抛物线的准线作垂线AA1、BB1，垂足分别为A1、B1.
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|
＝＋＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p.①
由消去y，得2＝2px，
即x2－3px＋＝0.
∴x1＋x2＝3p，代入①式得：3p＝6－p，∴p＝.
∴所求抛物线标准方程是y2＝3x.
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：y2＝－3x.
综上，抛物线方程为y2＝±3x.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
解析： 由y2＝4x，得p＝2，
其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知．
|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，得，
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4.
所以|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
