数学理卷·2019届河北省唐山一中高二上学期期中考试（2017-11） 7页

唐山一中2017-2018学年度第一学期期中考试 高二数学试题（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟. ‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.‎ ‎1.直线的斜率为，其中点，点在直线上，则（　　） ‎ ‎2.过原点且与圆相切的直线的倾斜角为（　　）‎ ‎ 或 或 或 或 ‎ ‎3.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（　　） ‎ ‎4.平面内动点到两点距离之比为常数，则动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知，，，则此阿波尼斯圆的方程为（　　） ‎ ‎ ‎ ‎5.已知双曲线离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（　　） ‎ ‎ ‎ ‎6.已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（　　） ‎ ‎ ‎ ‎7. 抛物线的焦点到准线的距离是( )‎ ‎ ‎ ‎8.已知动点满足，则点的轨迹为（ ）‎ ‎ 直线 抛物线 双曲线 椭圆 ‎9.已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有（ ）‎ ‎ ‎ ‎10.已知是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（　　） ‎ ‎11. 已知不过原点的直线与交于两点，若使得以为直径的圆过原点，则直线必过点（　　） ‎ ‎12. 设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点,使得的内切圆半径为,圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为（ ）．‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.‎ ‎13.点为椭圆上的任意一点，则的最大值为 ______ ．‎ ‎14. 已知直线，，且已知则__.‎ ‎15.在抛物线内，过点且被此点平分的弦所在直线的方程是 __________ ． 16.已知定圆，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点,则点的轨迹可能是: ①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点；⑦线段.其中正确的命题序号为__________‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分10分)直线过点，且与轴,轴的正方向分别交于两点, 为坐标原点，当的面积为时，求直线的方程.‎ ‎18. (本小题满分12分)在直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．圆和直线的极坐标方程分别为，． (1)求圆和直线的直角坐标方程． (2)求圆和直线交点的极坐标． ‎ ‎19. (本小题满分12分)已知抛物线和直线，为坐标原点． (1)求证：与必有两交点； (2)设与交于两点，且直线和斜率之和为，求的值． ‎ ‎20. (本小题满分12分)已知直线的参数方程为（为参数），在直角坐标系中，以点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的方程为． (1)求圆的直角坐标方程； (2)若直线截圆所得弦长为，求实数的值．‎ ‎21.(本小题满分12分)已知点,椭圆的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为 , 为坐标原点. ‎ ‎(1)求的方程. ‎ ‎(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程. ‎ ‎22. (本小题满分12分)过椭圆的左顶点作斜率为的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程.‎ 选择题1-5BBBDD 6-10DDBBA 11-12AC ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16 ①②④⑥‎ ‎17直线 的方程为线或 ‎18解:(1)由,,, ,即为, 即有; ,即为, 即, 即有,; (2)将直线和圆的方程联立后, 即 计算得出直角坐标为,, 则交点的极坐标为, (注:极坐标表示法不唯一).‎ ‎19(1)证明:联立抛物线和直线,可得, ,与C必有两交点; (2)解:设,,则① ‎ 因为,,代入①,得② 因为,,代入②得 ‎20（1）∵，∴圆的直角坐标方程为；（2）把直线的参数方程(为参数)化为普通方程得：，∵直线截圆所得弦长为，且圆的圆心到直线的距离或，∴或 ‎21（1）设，由条件知，，得。又，所以，，故的方程为。‎ ‎（2）根据题意，直线斜率存在，设：，，，将代入得。‎ 当，即时，，。‎ 从而。‎ 又点到直线的距离，所以的面积。设，则，。因为，当且仅当，即时等号成立，且满足。所以，当的面积最大时，的方程为或。‎ ‎22（1）因为，设直线方程为，，令，则，所以，所以，，因为 ‎，所以，，整理得，，因为点在椭圆上，所以，所以，所以，即，所以。‎ ‎（2）因为，可设，，所以椭圆的方程为，由得，因为动直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即，整理得，设，则有，，所以，又，，若轴上存在一定点，使得，所以恒成立，整理得所以恒成立，故，所求椭圆方程为。‎ ‎ ‎