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- 2023-11-29 发布
2017-2018学年湖南省常德芷兰实验学校高二下学期期中考试文科数学
时量：120分钟 满分：150分 命题教师：朱传秀
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}. C．{0,1} D．{－1,0,1}
2.已知00，a≠1）的图像恒过的点是 .
15.函数f(x)＝的定义域为 .
16.知a＞0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，均有f(x)＜，则实数a的取值范围是________.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. (本小题10分)在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，设曲线C：(α为参数)，直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4.
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离．
18. (本小题12分)在直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线（为参数）与曲线相交于两点．
（1）试写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）求的值．
19.(本小题12分)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：ρ＝1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合)
(1)当α＝时，求直线C1被圆C2所截得的弦长；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程．
20. (本小题12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝a，曲线C2的参数方程为(φ为参数，0≤φ≤π)．
(1)求C1的直角坐标方程；
(2)当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围．
21. (本小题12分)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x，
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值
范围.
22. (本小题12分)已知函数f(x)＝x，x∈[－1，1]，
函数g(x)＝f 2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m、n，同时满足以下条件：
①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．
若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．
文科数学
时量：120分钟 满分：150分 命题教师：朱传秀
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，则A∩B＝( B )
A．{0} B．{1}. C．{0,1} D．{－1,0,1}
2.已知00，a≠1）的图像恒过的点是 . (2，2)
15.函数f(x)＝的定义域为 .
16.知a＞0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，均有f(x)＜，则实数a的取值范围是________.答案 ∪(1，2]
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. (本小题10分)在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，设曲线C：(α为参数)，直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4.
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离．
[解析] (1)将C化为普通方程是＋y2＝1，将l化为直角坐标方程是x＋y－4＝0.
(2)在＋y2＝1上任取一点A(cosα，sinα)，则点A到直线l的距离为
d＝＝，它的最大值为3.
18. (本小题12分)在直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线（为参数）与曲线相交于两点．
（1）试写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）求的值．
解：（1）由已知有，又，
所以曲线的直角坐标方程为：，即.
由直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为：.
(2)将参数方程化为标准形式：代入方程，整理得， 则. 所以，由直线方程参数得几何意义知：
.
19.(本小题12分)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：ρ＝1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合)
(1)当α＝时，求直线C1被圆C2所截得的弦长；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程．
[解析] (1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，
C2的普通方程为x2＋y2＝1.法1：联立方程组
解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)，
所以截得的弦长为＝1.
法2：原点O到直线C1的距离为＝，
又圆C2的半径为1，所以截得的弦长为2＝2×＝1.
(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，
故当α变化时，A点轨迹的参数方程为(α为参数)．
所以A点轨迹的普通方程为x2＋y2－x＝0.
20. (本小题12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝a，曲线C2的参数方程为(φ为参数，0≤φ≤π)．
(1)求C1的直角坐标方程；
(2)当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围．
[解析] (1)将曲线C1的极坐标方程变形，ρ(sinθ＋cosθ)＝a，即ρcosθ＋ρsinθ＝a，
∴曲线C1的直角坐标方程为x＋y－a＝0.
(2)曲线C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1(－1≤y≤0)，为半圆弧，
如图所示，曲线C1为一组平行于直线x＋y＝0的直线，
当直线C1与C2相切时，由＝1得a＝－2±，舍去a＝－2－，得a＝－2＋，
当直线C1过A(0，－1)、B(－1,0)两点时，a＝－1.
∴由图可知，当－1≤a<－2＋时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．
21. (本小题12分)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x，
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值
范围.
解 (1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3，综上，k∈(－∞，－3).
22. (本小题12分)已知函数f(x)＝x，x∈[－1，1]，
函数g(x)＝f 2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m、n，同时满足以下条件：
①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．
若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．
[解析] (1)因为x∈[－1,1]，所以x∈.
设x＝t，t∈，则g(x)＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
当a<时，h(a)＝φ＝－；当≤a≤3时，h(a)＝φ(a)＝3－a2；
当a>3时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.所以h(a)＝
(2)因为m>n>3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a.
因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h(a)为减函数，
所以两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，因为m>n，所以m－n≠0，得m＋n＝6，但这与“m>n>3”矛盾，故满足条件的实数m、n不存在．