甘肃省武威第六中学2019-2020学年高二上学期第三次学段数学（文）试题 18页

武威六中2019-2020学年度第一学期第三次学段考试 高二文科数学试卷 一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知命题p：，，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，即得解.‎ ‎【详解】根据全称命题的否定是特称命题，‎ 命题p：，，的否定为：，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了全称命题的否定是特称命题，考查了学生概念理解能力，属于基础题.‎ ‎2.设曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又曲线在点处的切线方程为，‎ ‎∴，解得．‎ 选D．‎ ‎3.若命题“”假，“”为假，则（ ）‎ A. 真真 B. 假假 C. 真假 D. 假真 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由于“”为假，故为真，“”为假，故为假.故选.‎ ‎4.设，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，，既不在内，也不在内，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用线线平行、线线垂直、面面垂直的判定定理，用排除法．‎ 详解：若，，可能相交，故A错；‎ 若，，则平行，故C错 若，，则，故D错．所以选B．‎ 点睛：已知，都不在内，若，，则．这个结论我们可以记住．本题考查平行和垂直的判定，我们可以把命题放入正方体模型中找反例．‎ ‎5.“”是“曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由“”，知“方程表示焦点在轴上的椭圆”；由“方程表示焦点在轴上的椭圆”，知“”，进而可得结果.‎ ‎【详解】解：∵“”⇒“方程表示焦点在轴上的椭圆”， “方程表示焦点在轴上的椭圆”⇒“”， ∴“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件. 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查必要条件、充分条件的判断，解题时要认真审题，注意椭圆的定义和性质的合理运用.‎ ‎6.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）‎ A. 6 B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 焦点在x轴上的椭圆,可得，‎ 椭圆的离心率为,可得：，解得.‎ 故选C.‎ ‎7.已知命题：关于的函数 在 上是增函数，命题：函数为减函数，若为真命题，则实数的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为命题p且q为真命题，‎ 所以命题p、命题q均为真命题.‎ 因为p：关于x的函数y=x2-3ax+4在[1，+∞）上是增函数，‎ 所以 ，解得 .‎ 因为q：y=(‎2a-1)x为减函数，‎ 所以0＜‎2a-1＜1，解得 ＜a＜1，‎ 因为命题p且q为真命题，‎ 所以 .‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．‎ 第一步：求命题p，q对应的参数的范围．‎ 第二步：根据已知条件构造新命题.‎ 第三步：根据新命题的真假，确定参数的范围．‎ 第四步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．‎ ‎8.如图所示，在三棱柱中，，，，点，分别是棱，的中点，则直线和所成的角是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将EF平移到AB1，再利用中位线进行平移，使两条异面直线移到同一点，得到所成角，求之即可．‎ ‎【详解】连接AB1，易知AB1∥EF，连接B‎1C交BC1于点 G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF．设 AB=BC=AA1=a，连接HB，在三角形GHB中，易 知GH=HB=GB=a，故两直线所成的角即为∠HGB=60°．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线及其所成的角，平移法是研究异面直线所成的角的最常用的方法，属于基础题．‎ ‎9.若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是( )‎ A. [-1，+∞] B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞，-1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．‎ ‎10.在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，点M、N分别在AB1、BC1上，且AM=AB1，BN=BC1，则下列结论：①AA1⊥MN；②A‎1C1// MN；③MN//平面A1B‎1C1D1；④B1D1⊥MN，其中，‎ 正确命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意在四条棱A‎1A，B1B，C‎1C，D1D上分别取点G，F，E，H四点，使AGA‎1A，BFB1B，CEC‎1C，DHD1D，得到平面GFEH，则点M，N在与平面A1B‎1C1D1平行的平面GFEH中．利用线面垂直的性质判断①正确；利用平行公理判断②错误；利用面面平行的性质判断③正确；利用面面平行以及线线垂直的性质判断④错误．‎ ‎【详解】在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1的四条棱A‎1A，B1B，C‎1C，D1D上分别取点G，F，E，H四点，‎ 使AGA‎1A，BFB1B，CEC‎1C，DHD1D，连接GF，FE，EH，HG，‎ ‎∵点M、N分别在AB1、BC1上，且AMAB1，BNBC1，‎ ‎∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A1B‎1C1D1，‎ ‎∵AA1⊥平面A1B‎1C1D1，∴AA1⊥平面GFEH，‎ ‎∵MN⊂平面GFEH，∴AA1⊥MN，故①正确；‎ ‎∵A‎1C1∥GE，而GE与MN不平行，∴A‎1C1与MN不平行，故②错误；‎ ‎∵平面GFEH∥平面A1B‎1C1D1，MN⊂平面GFEH，∴MN∥平面A1B‎1C1D1，故③正确；‎ ‎∵B1D1∥FH，FH⊂平面GFEH，MN⊂平面GFEH，且MN与FH不垂直，∴B1D1与MN不垂直，故④错误．‎ ‎∴正确命题只有①③．‎ 故选：B．‎ ‎11.已知直线：与抛物线相交于、两点，且满足，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程可知直线恒过定点，过分别作准线的垂线，由，得到点为的中点、连接，进而可知，由此求得点的横坐标，则点的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．‎ ‎【详解】解：抛物线的准线，直线：恒过定点， 如图过分别作准线的垂线，垂足分别为； ‎ 由，则，‎ 所以点为的中点、连接， 则， ∴在中，，‎ 为等腰三角形，点的横坐标为， 故点的坐标为， 又， 所以， 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查直线斜率的计算，属于中档题．‎ ‎12.已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数判断函数的单调性，并比较与、与的大小关系，可得出正确选项.‎ ‎【详解】构造函数，则，，则，‎ 所以，函数在上为增函数.‎ 则，即，所以，；‎ ‎，即，所以，，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数单调性比较函数值的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数f（x）=2cosx + sinx，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，然后将代入导函数中，求得相应的导数值.‎ ‎【详解】依题意，故.‎ ‎【点睛】本小题考查导数的计算，考查正弦函数和余弦函数的导数，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎14.直线是双曲线的一条渐近线，双曲线的离心率是__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析：利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．‎ 详解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，即 解得e=2．故答案为2．‎ 点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎15.已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．由于￢p是￢q的必要不充分条件，可得q是p的必要不充分条件．即可得出．‎ ‎【详解】命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．‎ ‎∵￢p是￢q的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件．‎ ‎∴，且等号不能同时成立．‎ 解得．‎ 则实数a的取值范围是．‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出示意图，利用体积最大时所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 设球心为，所在圆面的圆心为，则平面；因为，，所以是等腰直角三角形，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的体积为：.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到球本身的性质，例如：球心与小圆面圆心的连线垂直于小圆面.‎ 三、解答题（6小题，共70分）‎ ‎17.已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）的单调递减区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:第(1)问, 先求导，再求出切线的斜率和切点坐标，最后写出直线的点斜式方程;第(2)问,直接利用导数求函数的单调递减区间.‎ 试题解析:‎ ‎，，，所以切点为（0，-2），‎ ‎∴切线方程为，一般方程为；‎ ‎（2），‎ 令，解得或，‎ ‎∴的单调递减区间为和.‎ ‎18.已知椭圆过点，离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆相交于两点，求.‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆过点M（0，2），离心率e，求出几何量，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出|AB|，计算M到直线AB的距离，即可求S△AMB．‎ ‎【详解】（1）由题意得 结合a2＝b2+c2，解得a2＝12‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（2）由得x2+3（x+1）2＝12，‎ 即4x2+6x﹣9＝0，经验证△＞0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 所以，‎ 所以 因为点M到直线AB的距离， ‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，涉及弦长问题时，往往设而不求，利用韦达定理进行运算，属于中档题．‎ ‎19.如图所示的几何体中，矩形和矩形所在平面互相垂直，，M为的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明线面平行只需在面内找一线与已知线平行即可，连结交于O，连结，可证；‎ ‎（2）线面垂直只需在面内找两条相交直线与已知线垂直即可，由，‎ 可得结论.‎ ‎【详解】（1）‎ 证明：连结交于O，连结 因为M为中点，O为中点，‎ 所以，‎ 又因为平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）因为正方形和矩形所在平面互相垂直，‎ 所以平面 所以，又因 所以平面，所以 因为，正方形和矩形，所以，，‎ 所以平面，所以，又因为，所以 又因为，所以平面，所以，‎ 所以平面 ‎【点睛】本题考查空间中的平行垂直关系，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析能力，属于中档题.‎ ‎20.已知四棱锥，底面是菱形，，为正三角形，平面底面，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）要证，即证与所在平面垂直，可取取的中点，连结，证明平面；‎ ‎（Ⅱ）采用等体积法进行转化，由求解，先求的体积，再求，即可求得到平面的距离 ‎【详解】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，则，‎ 因为底面是菱形，，‎ 所以是正三角形，所以，‎ 又因为，所以平面，‎ 而平面，所以．‎ ‎（Ⅱ）因平面底面，且，‎ 所以平面，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 在中，，，‎ 取的中点，连结，则，‎ ‎，‎ 因为，‎ 设点到平面的距离为，‎ 则，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，由等体积法求点到直线距离，属于中档题 ‎21.已知焦点在x轴上的椭圆C1的长轴长为8,短半轴为2,抛物线C2的顶点在原点且焦点为椭圆C1的右焦点．‎ ‎(1)求抛物线C2的标准方程；‎ ‎(2)过（1，0）的两条相互垂直的直线与抛物线C2有四个交点,求这四个点围成四边形的面积的最小值．‎ ‎【答案】(1)y2＝8x；(2)96.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知直接可求出椭圆的,运用椭圆之间的关系求出,最后可求出抛物线C2的标准方程；‎ ‎(2) 由题意易得两条直线的斜率存在且不为0,设其中一条直线l1的斜率为k,设出直线l1方程与抛物线方程联立,利用一元二次方程根与系数关系,可以求出弦长,同理求出直线l2与抛物线相交时,弦长的表达式,最后求出面积表达式,利用基本不等式可以求出四边形的面积的最小值．‎ ‎【详解】(1)设椭圆半焦距为c（c＞0）,由题意得c．‎ 设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0）,则，∴p＝4,‎ ‎∴抛物线C2的标准方程为y2＝8x；‎ ‎(2)由题意易得两条直线的斜率存在且不为0,设其中一条直线l1的斜率为k,直线l1方程为y＝k（x﹣1）,则另一条直线l2的方程为y（x﹣1）,‎ 联立得k2x2﹣（2k2+8）x+k2＝0，△＝32k2+64＞0，设直线l1与抛物线C2的交点为A，B，‎ 则则|AB||x2﹣x1|，‎ 同理设直线l2与抛物线C2的交点为C，D，‎ 则|CD|4．‎ ‎∴四边形的面积S|AB|•|CD|4．‎ ‎，‎ 令t2，则t≥4（当且仅当k＝±1时等号成立），．‎ ‎∴当两直线的斜率分别为1和﹣1时，四边形的面积最小，最小值为96．‎ ‎【点睛】本题考查了求抛物线的标准方程,考查了椭圆基本元素的识别,考查了抛物线与直线的位置关系以及弦长公式,考查了四边形面积最小值问题,考查了基本不等式的应用,考查了数学运算能力.‎ ‎22.已知函数，，其中.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，上单调递增（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算导函数，结合导函数与原函数单调性关系，判定单调性，即可．（2）结合的导函数，结合导函数与原函数单调性，判定最大值，结合题意，建立不等式，计算m的范围，即可．‎ ‎【详解】解：（1）的定义域为，且 当时，在上单调递增；‎ 当时，由得由得；‎ 故在上单调递减，在上单调递增 ‎（2）当时，，‎ 由得或 当时，；当时，.‎ 所以在上，‎ 而“，，总有成立”等价于 ‎“在上的最大值不小于在上的最大值”‎ 而在上的最大值为 所以有 所以实数的取值范围是 ‎【点睛】本道题考查了导函数与原函数的单调性关系，考查了利用导函数计算最值，难度偏难．‎