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- 2023-11-28 发布
压轴解答题强化训练(一)
解析几何
(建议用时:45分钟)
1.(2014·广州模拟)如图,已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),双曲线-=1的两条渐近线为l1,l2.过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于点P,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B.
(1)若l1与l2的夹角为60°,且双曲线的焦距为4.求椭圆C的方程.
(2)求的最大值.
【解析】(1)因为双曲线方程为-=1.
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
因为两渐近线的夹角为60°且<1,
所以∠POF=30°.
所以=tan30°=.
所以a=b.
因为c=2,所以a2+b2=22,
所以a=,b=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)因为l⊥l1,所以直线l的方程为y=(x-c),其中c=.
因为直线l2的方程为y=x,
联立直线l与l2的方程解得点P.
设=λ,=λ.
因为点F(c,0),设点A(x0,y0),
则有(x0-c,y0)=λ.
解得x0=,y0=.
因为点A(x0,y0)在椭圆+=1上,
所以+=1.
即(c2+λa2)2+λ2a4=(1+λ)2a2c2.
等式两边同除以a4得(e2+λ)2+λ2=e2(1+λ)2,e∈(0,1).
所以λ2==-+3
≤-2+3
=3-2=(-1)2.
所以当2-e2=.即e=时,λ取得最大值-1.
故的最大值为-1.
2.(2014·珠海模拟)已知抛物线C:x2=y,直线l与抛物线C交于A,B不同两点,且+=(p,6).
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程.
(2)设直线m为线段AB的中垂线,请判断直线m是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.
(3)记点A,B在x轴上的射影分别为A1,B1,记曲线E是以A1B1为直径的圆,当直线l与曲线E相离时,求p的取值范围.
【解析】(1)抛物线的焦点坐标为（0,）,准线方程为:y=-.
(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),
因为A,B是不同的两点,
所以xA≠xB且l不与x轴垂直,
因为+=(p,2).
所以xA+xB=p,+=6,
所以AB中点的坐标为（,3）,
所以k1=kAB==xA+xB=p,
当p≠0时,直线m的斜率km=-=-,所以直线m的方程为:y-3=-x-,
即y=-x+,令x=0得:y=,
即直线m过定点（0,）;
当p=0时,直线m的方程为x=0,也过定点（0,）.
(3)由(2)可设直线AB的方程为:y-3=p（x-）,
即y=px+3-,联立
消去y得:x2-px+-3=0,
所以
即
所以|A1B1|=|x1-x2|===,
所以以A1B1为直径的圆的方程为+y2=,
当直线l与曲线E相离时,圆心到直线l的距离d>r,即>.
所以>,即6>·,即36>(12-p2)(p2+1),
所以p4-11p2+24>0,
即(p2-3)·(p2-8)>0,
所以p2>8或p2<3,
又p2<12,且p2≥0,
所以0≤p2<3或80)经过点(-2,3),其中A,B是抛物线上两个动点,O为坐标原点.
(1)求抛物线Γ的方程.
(2)若OA⊥OB,求线段AB的中点P的轨迹方程.
(3)若∠AFB=90°,线段AB的中点M,点M在直线l上的投影为N,求的最大值.
【解析】(1)依题意可知(-2)2=2p×3,解得p=2.
所以抛物线Γ的方程为x2=4y.
(2)方法一:设点P(x,y),由(1)可设A,
B,其中x1x2≠0.则
解得x1x2=2x2-4y.
由∠AOB=,得·=0,
即x1x2+·=0,化简得,x1x2=-16.
所以2x2-4y=-16,即y=x2+4.
所以点P的轨迹方程为y=x2+4.
方法二:设点P(x,y),
可设直线AB的方程为y=kx+b,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则2x=x1+x2,2y=y1+y2=k(x1+x2)+2b, ①
联立得x2-4kx-4b=0,由根与系数的关系得:x1+x2=4k,x1x2=-4b, ②
由∠AOB=,得kOA·kOB=-1,即x1x2+y1y2=0.
所以x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,
即(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0, ③
由①②③可得,y=x2+4.
此时Δ=(-4k)2-4×(-4b)=4x2+64>0显然成立.
所以点P的轨迹方程为y=x2+4.
(3)方法一:设∠ABF=θ,则|AF|=|AB|sinθ,
|BF|=|AB|sin=|AB|cosθ,
所以|AF|+|BF|=|AB|(sinθ+cosθ),
即=sinθ+cosθ=sin,
由抛物线的定义以及梯形的中位线定理,得|MN|=,
所以=sin,故当θ=时,的最大值为.
方法二:在△ABF中,由勾股定理,得|AF|2+|BF|2=|AB|2,
即(|AF|+|BF|)2-2|AF|·|BF|=|AB|2,
因为|AF|·|BF|≤.
所以(|AF|+|BF|)2-|AB|2≤2.
化简得,|AF|+|BF|≤|AB|.
又由抛物线的定义以及梯形的中位线定理,得|MN|=.
所以2|MN|≤|AB|,
即≤,
当且仅当|AF|=|BF|时,的最大值为.
4.(2014·宁波模拟)如图,设椭圆+=1(a>b>0)长轴的右端点为A,短轴端点分别为B,C,另有抛物线y=x2+b.
(1)若抛物线上存在点D,使四边形ABCD为菱形,求椭圆的方程.
(2)若a=2,过点B作抛物线的切线,切点为P,直线PB与椭圆相交于另一点Q,求的取值范围.
【解析】(1)由四边形ABCD是菱形,得D(a,a2+b),
且
解得a=,b=,
所以椭圆方程为3x2+9y2=1.
(2)不妨设P(t,t2+b)(t≠0),
因为y′|x=t=2t,
所以PQ的方程为y=2t(x-t)+t2+b,即y=2tx-t2+b.
又因为直线PQ过点B,所以-t2+b=-b,即b=.
所以PQ的方程为y=2tx-.
联立方程组
消去y,得(t2+64)x2-32tx=0.
所以点Q的横坐标为xQ=,
所以==+1.
又t2=2b∈(0,4),
所以的取值范围为（1,）.
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