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- 2023-11-22 发布
新泰二中2015级高三上学期第一次阶段性测试试题
文 科 数 学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1、设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2、命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3、下列说法正确的（ ）
A.“”是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
D.“命题至少有一个为真命题”是“为真命题”的充分不必要条
4、已知函数，则（ ）
A.-2 B. -3 C. 9 D. -9
5、己知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6、已知向量的夹角为，且，,则（ ）
A. 2 B.3 C.4 D.
7、若，则（ ）
A． B． C. D．
8、若函数在 区间[-1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则（ ）
A.4 B. 2 C. D.
9、在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，则角（ ）
A. B. C. D.
10已知函数，则的图像大致为（ ）
A． B． C. D．
11、下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
12、定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（3，+∞）
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13、已知向量=（–1，2），=（m，1）.若向量与平行，
则m =______________.
14、函数的极大值为____________
15、若，，，
则 ．
16．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知b=c，
sinA+sinC=sinB，则角A= ．
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17、（10分）已知，.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18、（12分）已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，又=2+， =﹣3+
（Ⅰ）求与的夹角的余弦；
（Ⅱ）设=t﹣， =﹣，若⊥，求实数t的值．
19、（12分）已知=（2﹣sin（2x+），﹣2），=（1，），
f（x）=•，（x∈[0，]）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a的值．
20、(12分) 在中，角的对边分别是，
已知.
（1）证明：；
（2）若，求的最小值.
21、（12分）已知函数.
（1）当时，求在区间的最值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数；
（3）当时，求的单调区间.
22．（12分）已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x) 在区间 [－2,1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t) 存在3条直线与曲线y＝f(x) 相切，求t的取值范围；
新泰二中2015级高三上学期第一次阶段性测试试题
文 科 数 学（答案）
一、选择题
1-5 DCACD 6-10 AADCA 11-12 BA
二、填空题
13、 14、4 15、 16、
三、解答题
17.解：(1)由－x2＋6x＋16≥0，解得－2≤x≤8；
所以当p为真命题时，实数x的取值范围为－2≤x≤8.
(2) 解法一：若q为真，可由x2－4x＋4－m2≤0(m>0)，
解得2－m≤x≤2＋m(m>0)．
若p是q成立的充分不必要条件，则[－2,8]是[2－m，2＋m]的真子集，
所以(两等号不同时成立)，得m≥6.
所以实数m的取值范围是m≥6.
解法二：设f(x)＝x2－4x＋4－m2(m>0)，
若p是q成立的充分不必要条件，
∵x2－4x＋4－m2≤0在[－2,8]恒成立，
则有(两等号不同时成立)，解得m≥6.
18. 解：（Ⅰ）
==﹣6﹣1•2•cos60°+4=﹣3；
=，
；
∴；
即与夹角的余弦为；
（Ⅱ），；
∴=2t+3﹣t﹣4﹣4t+4=0；∴t=1．
19. 解：（1）f（x）=•=2﹣sin（2x+）﹣2sin2x
=2﹣（sin2xcos+cos2xsin）﹣（1﹣cos2x）
=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1．
∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴﹣1≤cos（2x+）≤，
从而有0≤f（x）≤，
所以函数f（x）的值域为[0，]． …
（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又因为0＜B＜π，所以＜B+，
从而B+=，即B=． …
因为b=1，c=，所以由正弦定理得sinC==，
故C=或，
当C=时，A=，从而a==2，
当C=时，A=，又B=，从而a=b=1
综上a的值为1或2．
20. 解：（1）证明：由及正弦定理得，
，
又，∴，∴，即.
（2） 解：∵，∴，
由余弦定理得，
∴，∴的最小值为2.
21. 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数，所以f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.
(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋3的对称轴为x＝－＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.
(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3
＝其图象如图所示：
∴f(x)在上单调递减，在单调递增。
22. 解：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2,1]上的最大值为f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，
所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)．
整理得4x－6x＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，
g(x)与g′(x)的情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
t＋3
t＋1
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(0)>0且g(1)<0，即－30，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，
t的取值范围是(－3，－1)．