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- 2023-11-21 发布
2018-2019学年山东省烟台二中高二上学期冬学竞赛 数学
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(共 12 小题,每小题 5分 , 共60 分)
1.命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；
命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2.“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.命题p：>0；命题q：y＝ax是R上的增函数，则p是q成立的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为( )
A．±1 B．± C．± D．±
5.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
6.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1
7.已知分别是椭圆C: 的左、右焦点，是以为直径的圆与该椭圆C的一个交点，且 , 则这个椭圆C的离心率为
A. B. C. D.
8.如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是在第二、四象限的公共点。若四边形为矩形,则双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
9.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝± x B．y＝±2x C．y＝± x D．y＝± x
10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
11. 设双曲线的左、右焦点分别为若在双曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径为，圆心记为，记的重心为，满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.过椭圆C：＋＝1左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，＋等于( )
A. B. C. D.
二、 填空题(共 4 小题,每小题 5分,共 20 分)
13.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是________．
14.已知各个命题A、B、C、D，若A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充分必要条件，试问D是A的________条件(填：“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)．
15.已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆； ②当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线；
③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜； ④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
16. 如图所示，将椭圆＋＝1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.（本小题满分10分）
(1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围．
18．（本小题满分12分）
求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
19． （本小题满分12分）
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程．
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
20． （本小题满分12分）
设函数，若函数在处与直线相切.
（1） 求实数a,b的值.
（2） 求实数在上的最大值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若四边形的面积为，且恰与圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与圆相切，交椭圆于点，，且点，在直线的两侧．设的面积为，的面积为，求的取值范围．
22.（本小题满分12分）
设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
冬学竞赛数学答案
一、选择题
BBACB AABCD CA
二、填空题
13. 14.必要不充分 15.②③④ 16.35
三、解答题
17.（1） （2）不存在
18.（1）或
（2）或
20.解：(1)由已知得：，且，即
∴
(2)由(1)得：
令得：
；
即时，单调递减；时，单调递增
又∵，
∴
∴的最大值为
21、 根据题意，可得：
．
解得，．
∴椭圆的方程为．设，，
直线与圆相切，得，即，
从而．
又，，
∴．
将直线的方程与椭圆方程联立得，
．设，，得，．
∴．
∴
，
当时，，
当时，，且
，
综上，的取值范围是．
22、解：易知，设P（x，y），
则， ，
，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为
由方程组
依题意 当时，设交点C，CD的中点为R，则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|