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- 2023-11-14 发布
安徽省定远重点中学2018-2019学年度上学期期末考试
高二数学（文科）试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。
第I卷 选择题 （共60分）
一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案）
1.给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A． 4 B． 2 C． 1 D． －3
2.已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是( )
A． 若a2＋b2＜，则a＋b≠1
B． 若a＋b＝1，则a2＋b2＜
C． 若a＋b≠1，则a2＋b2＜
D． 若a2＋b2≥，则a＋b＝1
3.设f(x)存在导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A． 2 B． －1 C． 1 D． －2
4.已知条件p：x<－3或x>1，条件q：x>a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥－1 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤－3
5.已知p：∃x0∈R，mx＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A． [1，＋∞) B． (－∞，－1] C． (－∞，－2] D． [－1,1]
6.已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与椭圆＋x2
＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x
7.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
8.已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO的面积之和的最小值是( )
A． 2 B． 3 C． D．
9.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
10.过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为( )
A． B．或
C． D．
11.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
12.函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是( )
A． 单调增函数
B． 单调减函数
C． 在上是减函数，在上是增函数
D． 在上是增函数，在上是减函数
第II卷 非选择题 （共90分）
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
14.已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b等于________．
15.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为________．
16.点P在椭圆x2＋＝1上，点Q在直线y＝x＋4上，若|PQ|的最小值为，则m＝________.
三、解答题(共6小题,共70分)
17. （10分）已知命题p：函数f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4>0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．
18.（12分）已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
19. （12分）双曲线的方程是－y2＝1.
(1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．
20. （12分）斜率为k的直线l经过抛物线y＝x2的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，若线段|AB|的长为8.
(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程；
(2)求直线的斜率k.
21. （12分）设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
22.（12分）设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a为实数)．
(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；
(2)若a>3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；
(3)是否存在a，使得x∈(0,1]时，f(x)有最大值1?
高二数学（文科）试题答案
1.C
2.C
3.B
4.C
5.A
6.A
7.A
8.B
9.D
10.B
11.C
12.A
13.(e，e)
14.18
15.
16.3
17.若命题p为真，因为函数的对称轴为x＝m，则m≤2.
若命题q为真，当m＝0时原不等式为－8x＋4>0，显然不成立．
当m≠0时，则有⇒10，
∴m2>3.
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－m，x1x2＝.
由弦长公式|AB|＝|x1－x2|，得
,
∴＝，即m＝±5，满足m2>3，
∴直线l的方程为y＝x±5.
(2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)、B′(x4，y4)两点，
点P(3,1)为A′B′的中点，则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.
由＝4，＝4，
两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，
∴＝，
∴l′的方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋＝0，
满足Δ>0，
即所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0.
20.解 (1)化y＝x2为标准方程x2＝4y，
由此，可知抛物线的焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
于是|AB|＝y1＋y2＋2，
又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6，
由(1)得，抛物线的焦点为(0,1)，
所以直线l的方程为y＝kx＋1，
所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4，
由直线l的方程与抛物线方程得kx＋1＝，
即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k，
代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1.
21.(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①，②得解之得.
故f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
22.(1)f(x)＝－x3＋ax．
(2)f(x)在(0,1]上单调递增，证明见解析.(3)存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1
【解析】(1)设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)．
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax，
即x∈(0,1]时，f(x)＝－x3＋ax.
(2)f(x)在(0,1]上单调递增，证明如下：
f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]，
∴－3x2∈[－3,0)．
又a>3，∴a－3x2>0，即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1]上单调递增．
(3)当a>3时，f(x)在(0,1]上单调递增，
∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1.
∴a＝2与a>3矛盾．
当0≤a≤3时，令f′(x)＝a－3x2＝0，
得x＝或x＝－(舍去)．
x∈时，f′(x)>0，
∴f(x)在上单调递增．
x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递减．
又函数f(x)在x＝处连续，
∴f(x)max＝f＝－3＋a＝1.
解得a＝，
当a<0时，f′(x)＝a－3x2<0，
∴f(x)在(0,1]上单调递减，f(x)在(0,1]上无最大值．
综上，存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1.