云教金榜（云南大理丽江怒江）2020届高三年级诊断性联考数学（理）试题答案 6页

2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷理科数学参考答案及评分细则·第 1 页（共 6 页） 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题 1．A［解析］ 1 i (1 i)(2 i) 1 3i 10=2 i (2 i)(2 i) 5 5 −−−−==++− ，故选 A． 2．D［解析］ { }31Bxxx=−＞或 ＜ ， R B‰ ={x －1≤x≤ }3 ，所以 A∪ R B‰ ={x －1≤x≤ }3 ， 故选 D． 3．D［解析］ 6x = ， 75y.= ，代入 ˆy = 7 2 ˆbx + 得 2 3 ˆb = ，故选 D． 4．C［解析］如图，作出 2 20 0 xy y y x −+ + ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ≥ ≥ ≤ ， ， ， 表示的平面区域， 当直线 z=2x–3y 过点(0，2)时，zmin= －6，故选 C． 5．C［解析］设公比为 q，因为 a3a5=a4 2=4，a2=1，所以 q2=2，所以 22 257 3 5 35 35 2aa aqaq qaa aa −−===−− ，故选 C． 6．B［解析］因为 f (－x)= 11cos( π )ln cosπ ln11 xxxxxx −− +−⋅ = ⋅ =−+ − －f (x)，所以 f (x)为奇函数， 排除 A，D；又由 f (x)=0 得 x=0 或cos πx =0，可知 f (x)图象与 x 轴交点有无数个，故选 B． 7．D［解析］S= 11 12132 100 1 2 2 3 99 100 ++⋅⋅⋅+=−+−+⋅⋅⋅+− ++ + 99 9= ，故选 D． 8．A［解析］因为∠DAB=∠DCB=90°，所以棱 DB 的中点到点 A，B，C，D 的距离相等， 即 DB 为三棱锥 D-ABC 的外接球的直径，因为 AB=2，AD= 3 ，所以 BD= 7 ，所以 外接球的表面积为 7π ，故选 A． 9．C［解析］用 3 种不同颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色的方法有 34=81 种，相邻的区域 不同色的涂色的方法有 3×23=24 种，所以所求概率为 24 8 81 27= ，故选 C． 10．D［解析］f(x)= πsin 3 cos 2sin( )3xxx−=−ωωω，因为 f(x)的图象与 x 轴的两个相邻交 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷理科数学参考答案及评分细则·第 2 页（共 6 页） 点的距离等于 2 π ，所以 ω =2，所以 g(x)=2sin[2(x+ 6 π ) 3 π− ]=2sin 2x，所以( 4 π ， 3 π )为 g(x) 的一个减区间，故选 D． 11．C［解析］因为双曲线的离心率为 2，所以 a=1．延长 F2M 交 PF1 于点 N，因为 PM 平分 ∠F1P F2，PM⊥F2N，所以 MN=F2M，PN=PF2，所以 OM∥PF1，所以 OM= 1 2 F1N=1，故 选 C． 12．B［解析］因为∠ADC=60°，AC=2 3 ，由正弦定理得△ADC 的外接圆半径为 2，设圆 心为 O，则 O 到 AC 的距离为 1．因为 BA=BC，∠ABC=90°，所以 AC⊥BO，所以 AC JJJG ·BD JJJG = AC JJJG ·( BO JJJG +OD JJJG )= AC JJJG ·BO JJJG + AC JJJG ·OD JJJG = AC JJJG ·OD JJJG =| AC JJJG |·|OD JJJG | cos< AC JJJG ， OD JJJG >=4 3 cos< AC JJJG ， OD JJJG >∈[–4 3 ，4 3 ]，故选 B．（或建立平面直角坐标系，利 用向量坐标运算计算） 二、填空题 13．60［解析］因为 a4+a8=2a6=14，a3+a5+a7=3a5=15，所以 a6=7，a5=5，所以 S10=5(a5+a6)=60． 14．80［解析］(2x–1)( 1 x – 2x)5 展开式中的常数项为 2x· 23 2 5 1C( )( 2) 80xx − = ． 15．(x+2)2+(y+1)2=4［解析］依题意设圆心 C(2b，b) (b＜0)，则半径 r=－2b，因为圆 C 截 x 轴 所得的弦的长为 23，所以 4b2 － b2=3，解得 b =－ 1，所以圆 C 的标准方程为 (x+2)2+(y+1)2=4． 16．(1， 2 ln2 ］［解析］由 g(x)= f(x)－kx－1=0 得 kx= 2log ( +1) 1 < 0 2 0. xx xxx −⎧⎪⎨ +⎪⎩ ，， ，＞ ≤ 作出函数 y=kx 及 y= 2log ( +1) 1 < 0 2 0 xx xxx −⎧⎪⎨ +⎪⎩ ＞ ，， ， ≤ 的图象，则两个函数图象有两个交点，所以 1＜k≤ 2 ln2 ． 三、解答题（其他正确解法请比照给分） 17．解：（1）由已知 cos a A = cos cos bc BC + + 及正弦定理得 sin sin sin cos cos cos A BC A BC += + ， 所以 sin Acos B+sin Acos C=cos Asin B+cos Asin C， 即 sin Acos B–cos Asin B=cos Asin C–sin Acos C， 得 sin(A–B)=sin(C–A)．所以 A–B=C–A，或(A–B)+(C–A)=π（不成立）． 即 2A=B+C，得 A= 3 π ． ……………6 分 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷理科数学参考答案及评分细则·第 3 页（共 6 页） （2）由 cos C=7cos B，得 222 222 722 abc acb ab ac +− +−=⋅ ， …………………7 分 又由（1）及余弦定理得 a2=b2+c2–bc，代入上式得 3b=5c． …………………9 分 由三角形的面积公式，得 13153sin244 bcSbcA===， 所以 bc=15． 解得 b=5，c=3， …………………11 分 所以 a2=52+32–15=19，解得 a= 19 ． …………………12 分 18．解：（1）设 Ai 表示事件“在一次测试中，新型机器性能良好的有 i 台”，i=0，1，2， Bi 表示事件“在一次测试中，老型机器性能良好的有 i 台”，i=0，1，2， 依题意有：P(A1)=2× 2 3 × 1 3 = 4 9 ，P(A2)= 2 3 × 2 3 = 4 9 ． P(B0)= 1 2 × 1 2 = 1 4 ，P(B1)= 2× 1 2 × 1 2 = 1 2 ． 所求概率为：P= P (B0A1)+ P (B0A2) + P (B1A2)= 1 4 × 4 9 + 1 4 × 4 9 + 1 2 × 4 9 = 4 9 ． …6 分 （2）ξ 的可能值为 0，1，2，3，且ξ ~B(3， 4 9 )． ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 125 729 100 243 80 243 64 729 …………10 分 E(ξ )=3× 4 9 = 4 3 ． …………12 分 19．（1）证明：设 BC 的中点为 M，连接 EM， ∵点 E 在平面 ABCD 上射影恰为 BC 的中点， ∴EM⊥BC， …………1 分 ∵三棱锥 F-BCE 的体积为 1 6 ， ∴EM=1，从而为 EM= 1 2 BC， ∴BE⊥EC． …………3 分 ∵平面 ABCD⊥平面 BCE，平面 ABCD∩平面 BCE=BC， 又在矩形 ABCD 中，AB⊥BC， ∴AB⊥平面 BCE， …………4 分 ∴AB⊥EC， ∴EC⊥平面 ABE， ∴平面 CDE⊥平面 ABE． …………5 分 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷理科数学参考答案及评分细则·第 4 页（共 6 页） （2）解：如图，以点 B 为原点， BC JJJG ， BA JJG 分别为 y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐 标系，则 B(0，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，1)，D(0，2，1)，F(0，1， 1 2 )， E(1，1，0)． …………7 分 ∴ AC JJJG =(0，2， − 1)， EC JJJG =( − 1，1，0)， ED JJJG =( − 1，1，1)． 设 n1=(x1，y1，z1)为面 AEC 的法向量，则 n1· AC JJJG = n1· EC JJJG = 0， 即 11 11 2y 0 0 z xy −=⎧ ⎨−+ =⎩ ， ， 取 y1=1，则 x1=1，z1=2，从而 n1=(1，1，2)， ∵ BE JJJG =( 1，1，0)， BF JJJG =( 0，1， 1 2 )． 设 n2=( x2，y2，z2)为面 BEM 的法向量， 则 n2· BE JJJG = n2· BF JJJG = 0， 即 22 22 0 1 02 xy yz +=⎧⎪⎨ +=⎪⎩ ， ， 取 z2=2，则 x2=1，y2= − 1，从而 n2=(1， − 1，2)， ∴cos< n1，n2>= 2 12 1 ⋅ ⋅ nn nn= 2 3 ， 由图形可知所求二面角的平面角为钝角， ∴二面角 B-EF-C 的余弦值为 2 3− ． …………12 分 20．解：（1）将 P( 2 ，1)代入 x2=2py，解得 p=1，∴C2 的方程为 x2=2y． ∵椭圆 C1 的两个焦点分别为( 2 ，0)，( 2− ，0)， ∴ a =2， 2b = ， ∴C1 的方程为 22 =142 xy+ ． …………4 分 （2）设点 M 的坐标为(m， 2 2 m )，则 M 处切线方程为 y=mx 2 2 m− ． …………5 分 O 到切线的距离为 2 221 m m + ． …………6 分 联立方程组 22 2 24 2 xy mymx ⎧ +=⎪⎨ =−⎪⎩ ， ， 化简得：(4m2+2)x2 − 4m3x+m4 − 8=0， 由 =16m6 − 4(4m2+2) (m4 − 8)＞0，解得 0＜m2＜8+ 62． ∴ 624 2 2 16 4(4 2)( 8)1 42 mmmAB m m − +−=+⋅ + ， ∴S△OAB= 242 2 23216 4(2 1) mmm m ⋅− + + + …………9分 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷理科数学参考答案及评分细则·第 5 页（共 6 页） = 22 22 11 1(2 1 2) 34 (2 1 )21 2182 mmmm ⎡ ⎤⋅++−−++⎢ ⎥++⎣ ⎦ 令 t =2m2+1+ 2 1 21m + , 则 S△OAB= 211( 2)(34 ) ( 18) 256 82 82 tt t⋅− −= ⋅−−+ ≤ 2 ， 当且仅当 t =18，即 m2=4+ 25时，△OAB 的面积取最大值 2 ． …12 分 21．（1）解：f′ (x)= 2 22 12(2)2(1) 1 (2)(1)(2) ax ax x xxx + −+−=+ +++ ，(x＞ − 1)． ①当 0＜a≤2 时，f′ (x)≥0，∴f (x)在( − 1，+∞)单调递增； ②当 a＞2 时，由 f′ (x) =0，解得 x1=a − 2 2 2aa−−，x2=a − 2 2 2aa+−， ∴当 x∈( − 1，x1)时，f′ (x)＞0，f (x)单调递增， 当 x∈(x1，x2)时，f′ (x)＜0，f (x)单调递减， 当 x∈(x2，+∞)时，f′ (x)＞0，f (x)单调递增． …………6 分 （2）证明：当 a=2 时，由（1）可知 f (x)=ln(x+1) − 2 2 x x + 在(0，+∞)单调递增， 又 f (0)=0，∴x＞0 时，f (x)＞0，即 ln(x+1)＞ 2 2 x x + ． …………8 分 下证 x＞0 时， 2 2 x x + ＞ 2 e1 x −x ，即证 x＞0 时， 2 e 21 xx ++＞x ． 设 g(x)= 2 e( )21 xx ++−x ( x＞0)，g′ (x)=ex − (1+ x)， 设 h(x)= e )1( x−+x ( x＞0)，h′ (x)=ex − 1＞0， ∴h(x)在(0，+∞)单调递增，h(x)＞h(0)=0，即 g′ (x)＞0， ∴g(x)在(0，+∞)单调递增，g(x)＞g(0)=0， ∴ 2 e 21 xx ++＞x ，即 2 2 x x + ＞ 2 e1 x −x ．原不等式得证． …………12 分 22．解：（1）依题意，得ρ=2 2cos(θ – 4 π )=2(cos θ +sin θ)， 即ρ2=2(ρ cos θ +ρ sin θ)， …………2 分 可得 x2+y2–2x–2y=0， 故 C2 的直角坐标方程为(x –1)2+(y –1)2=2． …………5 分 （2）曲线 C1 的参数方程为 11 2 32 2 xt yt ⎧ =−⎪⎪⎨ ⎪ =+⎪⎩ ， ， （t 为参数） 化为普通方程，得 3 x+ y– 3 – 2=0， …………7 分 由（1）知曲线 C2 是以(1，1)为圆心，半径为 2 的圆， 圆心到曲线 C1 的距离 d= 22 31 3 2 31 +− − + || () = 21 2 − ＜r= 2 ， 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷理科数学参考答案及评分细则·第 6 页（共 6 页） 于是直线与圆相交， 所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为 32 1 2 − ． …………10 分 23．解：（1）f(x)= 73 31 3 2 72 xx xx xx −+ <−⎧ ⎪− +− <⎨ ⎪ −⎩ ，， ，≤ ， ， ≥ . …………………1 分 当 x＜–3 时，–x+7≤x+5，x≥1，则 x∈∅； 当–3≤x＜2 时，–3x+1≤x+5，x≥–1，则–1≤x＜2； 当 x≥2 时，x–7≤x+5，x∈R，则 x≥2． ……………………4 分 综上可得，不等式 f(x)≤x+5 的解集为[–1，+∞)． ……………………5 分 （2）由（1）可知 f(x)的最小值为–5， ……………………6 分 根据柯西不等式，得(a+3mb)2≤(2a2+3b2)( 1 2 +3m2)=5( 1 2 +3m2)， ∴a+3mb≤ 21 325 m+()． …………………8 分 依题意有， 21 325 m+()≥5， …………………9 分 解得 m≤– 6 2 或 m≥ 6 2 ． …………………10 分 答案仅供参考，如有其他解法，请阅卷教师根据作答情况给分！