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- 2023-11-12 发布
凯里一中2018届《黄金卷》第三套模拟考试
文科数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，为整数集，则集合中所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
2.已知复数，其中是虚数单位，则在复平面内，的共轭复数对应的点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4.命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5.函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
6.已知，则（ ）
A． B． C． D．
7.某同学通常在早上6:00-7:00的任意时刻起床，但在6:55之后起床就会迟到，那么该同学迟到的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.若实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
9.已知实数，若函数的零点所在区间为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.设，是两条不重合的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若，，则；②若，，，则；
③若，，，则；④若，，，则.
则正确的命题为（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．②④
11.取数游戏：每次游戏中，游戏人按动游泳按钮，就从如图：的三个窗口中各弹出一个数字，其中：最左边窗口可随机弹出数字4或3，中间窗口可随机弹出3或2，最右边窗口可随机弹出2或1.若弹出的三个数字为“顺子”（如：432），则可获奖10元，若有相邻两位数字相同，则可获奖8元，其他情况获奖-2元.甲玩了8次游戏后，乙问甲的获奖情况，甲说：“23元有余，28元不足，3除不尽.”那么甲在这8次游戏中得到“顺子”、“相邻两位数字相同”、“其他情况”的次数依次为（ ）
A．0，4，4 B．2，2，4 C．2，3，3 D．1，3，4
12.已知：定义在上的可导函数的图象关于点对称的充要条件是导函数的图象关于直线对称.若函数，且，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，若向量，则 ．
14.设函数的图象与轴相交于点，则在点处的切线方程为 ．
15.如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点，测得山顶的仰角分别为，，且该两点间的距离是米，则此山的竖直高度为 米（用含，，的式子表达）．
16.已知抛物线：的焦点为，准线为，过点作直线交于，两点，过，分别作的垂直交于，两点，设，的斜率分别为，，则的最小值为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列满足，且.
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）设数列，求数列的前项和.
18.某地有一企业2007年建厂并开始投资生产，年份代号为7，2008年年份代号为8，依次类推.经连续统计9年的收入情况如下表（经数据分析可用线性回归模型拟合与的关系）：
年份代号（）
7
8
9
10
11
12
13
14
15
当年收入（千万元）
13
14
18
20
21
22
24
28
29
（Ⅰ）求关于的线性回归方程；
（Ⅱ）试预测2020年该企业的收入.
（参考公式：，）
19.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若点为中点，求三棱锥的体积.
20.已知圆：与定点，为圆上的动点，点在线段上，且满足.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴交点为，不经过点的直线与曲线相交于不同两点，，若.证明：直线过定点.
21.已知函数.
（Ⅰ）试讨论函数的单调性；
（Ⅱ）对，且，证明：.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，其中.
（Ⅰ）求的极坐标方程；
（Ⅱ）若与交于不同两点，，且，求的最大值.
23.【选修4-5：不等式选讲】
设函数，，其中.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.
凯里一中2018届《黄金卷》第三套模拟考试
文科数学参考答案
一、选择题
1-5: ADBAC 6-10: CBBDC 11、12：DB
二、填空题
13. 14. 15. 16. 2
三、解答题
17．解析：（I）方法一：，且．
∴是以为首项，公差为1的等差数列．
方法二：由已知，两边除以得，
即，又.
∴是以为首项，公差为1的等差数列．
（2） 由（I）得 ，故．
∴.
∴
.
故数列的前项和为：，.
18．解析：（I）由已知数据得：，．
，，.
故所求回归方程为：．
（II）年的年份代号为，
由（I）知，当时，，
故预测年该企业的收入为千万元．
19．解析：（I）在△中，有，
，同理可得：，平面，
又平面，
平面平面．
（II）由为中点，可知点到平面的距离等于点到
平面的距离的一半．
由（I）知平面，则
故所求体积为．
20．解析：（Ⅰ）由已知，则,
则点的轨迹是以为焦点的椭圆，可设的方程为：，
由已知可得，则点的轨迹的方程为：．
（Ⅱ）①如果与轴垂直，设，由题知，可得，又，
则 得或舍去，则
②如果与轴不垂直，可设，将代入得 由题设可知
设则
又，
由，
故，
得
即，则
解得或（舍去）
时，满足，于是即，恒过定点
又，也过点
综上可知，直线恒过定点，故得证.
21．解析：（I）的定义域为，且．
①当时，对，有，故函数在单调递增；
对，有，故函数在单调递减．
②当时，对，有，函数在单调递减；
对，有，函数在单调递增．
（II）对且，要证：
只需证： 即证：. 设，则
当时，有，故函数在单调递减．
又，且，所以，即．
成立
故原不等式成立．
22．解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程为，
再将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为．
（Ⅱ）将代入，得
令，得，
已知，解得 设（），则
则
所以
又，所以当
即时的最大值为．
23．解析：（I）不等式，则
解得：或，即
所以不等式的解集为．
（II）设的值域为,的值域为．【来源：全,品…中&高*考+网】
对任意，都存在，使得等价于：
而．
①当时，不满足题意；
②当时，，由得，得，不满足题意；
③当时，，由得，得，满足题意；
综上所述，实数的取值范围是：．