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- 2023-11-10 发布
黑龙江省大庆中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学试题
评卷人
得分
一、选择题
1．已知，集合， ，若，则（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】集合， ，若.
所以，解得.
所以，解得.
所以.
故选D.
2．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线，令，得到在轴上的截距为；
令，得到在轴上的截距为.
故选C.
3．已知为实数，且成等差数列， 成等比数列，则的值是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】成等差数列， 成等比数列，设公差为，公比为
由成等差数列，可得： .所以
成等比数列，可得： .所以
所以， .
得.
故选B.
4．某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是，如图（2）所示，其中， ，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由俯视图的直观图可得原图形：为边长为4的等边三角形.
可得原几何体为四棱锥P−ABC.其中PC⊥底面ABC.
∴该几何体的体积为
故选：A.
5．为了得到函数的图像，只需把的图像上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】把的图像上所有的点向右平移个单位长度，
有： .
故选D.
6．直线，直线与垂直，且直线与平行，则（ ）
A. -4 B. -3 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】因为直线与平行，并且直线，
所以.
又因为直线与垂直，
所以.
所以.
故选B.
点睛：两直线位置关系的判断： 和的平行和垂直的条件术语常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：
垂直： ；
平行： ，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！
7．已知为原点，点的坐标分别是和其中常数，点在线段上，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为点的坐标分别是和
所以
又由点P在线段AB上，且
所以
则⋅，
当t=0时候取最大为.
故选A.
8．在中， ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中， ，由正弦定理可得： ，
不妨设，
则，
，
则.
故选：C.
9．与函数的图像不相交的一条直线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，解得， .
当时得： .此时与函数的图像不相交.
故选B.
10．函数的图像是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵的图象是如图两条线段,它的定义域是[−1,0)∪(0,1]，
由图象可知： 为奇函数, ，
∴不等式，
当时, ，
当时，
∴，
∴不等式的解集是：
故选A.
11．设， ， ，则（ ）
A. 有最大值8 B. 有最小值-12 C. 有最大值16 D. 有最小值12
【答案】C
【解析】∵
∴，
当且仅当，即时， 有最小值8.
而，
当且仅当时有最大值16
故答案为C.
点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
12．已知平面区域如图所示， 在平面区域内取得最小值的最优解有无数多个，则的值为（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】由题意, 在平面区域内取得最小值的最优解有无数多个,
.
当直线与直线AB重合时有无数最小值.
最优解应在线段AB上取到.
∵，
∴，
∴，
故选C.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
评卷人
得分
二、填空题
13．已知点， ，则与向量同方向的单位向量为__________．
【答案】
【解析】∵点， ，
∴，可得，
因此，与向量同方向的单位向量为：
故答案为：
14．设且，求的最小值__________．
【答案】
【解析】由，
.
当且仅当，即时， 取最小值.
点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
15．过点且被圆截得弦长为8的直线的一般方程是__________．
【答案】或
【解析】圆心.
圆心到弦的距离
若直线斜率不存在，则垂直x轴
x=3，圆心到直线距离=|0−3|=3，成立
若斜率存在，设为： 即：
则圆心到直线距离
解得
综上： 或
故答案为： 或.
16．如图，正方体中， 分别是的中点，则与平面所成的角的正切值为__________．
【答案】
【解析】
作FO⊥BC，交BC于点O，连结EO，
∵正方体中， 分别是的中点，
∴O是BC的中点，且FO⊥面ABCD，
∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角，
设正方体的棱长为a，
则，
∴
故答案为： .
评卷人
得分
三、解答题
17．已知集合， ，全集.
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）化简，，从而求得；
（2）分类讨论，从而确定的取值范围．
试题解析：
（1）， ，
.
（2）①当时， ，此时；
②当时， ，则
综合①②，的取值范围是.
18．在中，记， 的面积为，且， .
（1）求实数的取值范围；
（2）函数的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）， .
【解析】试题分析：（1）由条件可得，即，从而解得的范围；
（2）化简函数的解析式为,代入（1）的范围求最值即可.
试题解析：
（1），
（2）， ，
(1)∵，
∴.∴所求的的取值范围是.
(2)∵, ，
.
19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面， ， 是的中点.
（1）证明： 平面；
（2）证明： 平面.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）记中点为，连，由中位线定理可得，即可证明；
（2）由平面可得，又，得平面，进而平面， ，再由及证得.
试题解析：
（1）记中点为，连，由分别为中点，∴
又平面， 平面，∴平面.
（2）由平面，∴，又
∴平面，
由， 为中点，故
∴平面.
20．在中，角所对的边分别为，已知， .
（1）求角；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）化简条件得： ，即可得角；
（2）由余弦定理可得，再结合条件可得，进而得，再由正弦定理求得，进而可求面积.
试题解析：
（1）因为，所以，
解得： ， 舍去，所以，又，所以
（2）在中，因为，由余弦定理得：
又，所以，所以，
又因为，由正弦定理
得： ，所以.
21．已知数列的前项和为，且满足， .
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前项和为.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由可得，由等比数列可求通项公式；
（2）利用错位相减即可求和.
试题解析：
（1）∵，∴， ，
∴，即，
∴，
又，即，
∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴.
（2）∵，
∴，
∴两式相减得：
∴.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
22．已知， ，动点满足.设动点的轨迹为.
（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）求动点与定点连线的斜率的最小值；
（3）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）轨迹是以为圆心，2为半径的圆；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）由直接法，设出点坐标列方程即可；
（2）由直线与圆有公共点可得，即可解得；
（3）根据题意有，坐标化可得，进而直线和圆联立，由韦达定理代入求解即可.
试题解析：
（1），
化简可得： ，轨迹是以为圆心，2为半径的圆
（2）设过点的直线为，圆心到直线的距离为
∴，
（3）假设存在，联立方程，得，
设，则， ，
，∴
，得，
且满足，
∴.
点睛：求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．