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- 2023-11-09 发布
三湘名校教育联盟·2017届高三第三次大联考
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知命题中，若，则，则下列命题为真命题的是（ ）
A．的逆命题 B．的否命题 C．的逆否命题 D．的否定
3.已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
4.执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，输出的值为，则在区间上随机选取一个数，的概率为（ ）
A． B． C. D．
5.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限
6.函数的图象大致是（ ）
A． B． C. D．
7.若的展开式中的系数为（ ）
A．36 B．-144 C.60 D．-60
8.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C. D．
9.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
10.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是（ ）
A．13 B．12 C.11 D．10
11.如图，抛物线和圆，直线经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于，，，四点，，则的值为（ ）
A． B．1 C. D．
12.已知函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷：非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.已知正项等差数列的前项和为，，则的最大值为 ．
14.已知实数，满足，则的最小值为1，则 ．
15.以40向北偏东航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3后祈求上升到1处，从探测船上观察气球，仰角为，求气球的水平飘移速度是 ．
16.已知平面向量，满足，存在单位向量，使得，则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）若在上的值域为，求的取值范围；
（2）若在上单调，且，求的值.
18. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：与模型②：作为产卵数和温度
的回归方程来建立两个变量之间的关系.
温度
20
22
24
26
28
30
32
产卵数/个
6
10
21
24
64
113
322
400
484
576
676
784
900
1024
1.79
2.30
3.04
3.18
4.16
4.73
5.77
26
692
80
3.57
1157.54
0.43
0.32
0.00012
其中，，，，
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
（1）在答题卡中分别画出关于的散点图、关于的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.
（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：，，）
（3）若模型①、②的相关指数计算得分分别为，，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.
19. 已知三棱台中，,，，平面平面，
（1）求证：平面；
（2）点为上一点，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.
20. 一张半径为4的圆形纸片的圆心为，是圆内一个定点，且，是圆上一个动点，把纸片折叠使得与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与半径的交点为，当在圆上运动时，则点的轨迹为曲线，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图.
（1）求曲线的方程；
（2）曲线与轴的交点为，（在左侧），与轴不重合的动直线过点且与交于、两点（其中在轴上方），设直线、交于点，求证：动点恒在定直线上，并求的方程.
21. 已知函数.
（1）若在定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得恒成立且有唯一零点，若存在，求出满足，的的值；若不存在，请说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.
（1）求曲线与的交点的直角坐标；
（2）设点，分别为曲线，上的动点，求的最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）存在时，使得不等式成立，求实数的取值范围.
数学（理科）参考答案、提示及评分细则
一、选择题：
1-5:CDABB 6-10:DDBCB 11、12：DB
二、填空题
13.16 14.1 15.20 16.
三、解答题
17.解答：.
（1）由，在上的值域为．
即最小值为，最大值为，则，得．
综上：的取值范围是．
（2）由题意在上单调，得．
由，得或，，
或，，又，所以或；
当时，，在上单调递增，符合题意，
当时，，在上不单调，不符合题意，
综上：．
18.解答（1）画出关于的散点图，如图：关于的散点图，如图．
根据散点图可判断模型②更适宜作为回归方程类型．
（2）对于模型①：设，则，
其中，，
所以，
当时，估计温度为.
对于模型②：，
其中，．
所以，
当时，估计温度为．
（3）因为，所以模型②的拟合效果更好．
19.（1）延长，，交于点．
及棱台性质得，所以．
因为平面平面平面．
所以平面，平面，所以,
又，所以，，所以平面．
（2）由于，由知，，所以，且，
以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则，，，，．
设．
设平面的法向量为,
由，可取．
是平面的个法向量，
由二面角的大小为得：
．
所以为中点，，，
设与平面所成角为，则．
所以与平面所成角为正弦值为．
20.解:（1）由题意垂直平分，所以
所以的轨迹为以，为焦点、长轴长为的椭圆，焦距，所以，
所以动点的轨迹为曲线的方程是：．
（2），，设的方程是，设，，，
由得，
所以，，.
因为在轴上方，∴，．
直线、的方程分别是：，，
联立得：
．
∴动点恒在定直线：上．
21.解:（1）由已知，函数的定义域为，
由在定义域上单调递减，则恒成立，
，所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
即在内单调递增，内单调递减，
所以．
（2）当时，，∴恒成立，
当时，由（1）知，在内单调递减，
（i）若，
由（1）知，在内单调递减，
则，无零点，不符合题意;
（ii）若，
设，，
所以，又，
所以存在，使得，即，①
且当故当时，有，当时，有，
则在内单调递增，内单调递减，
由于恒成立，且有唯一零点，∴．②
结合①，②知，③
联立得
设，则，，
且当时，，所以在上有唯一零点．
即满足方程组③的唯一，且．
设，，所以在上单调递增，
，
即满足方程组③的，所以.
综上所述，存在即，使得恒成立且有唯一零点．
22.解答（1）曲线：，消去参数，得，．①
曲线：，②
联立①②，消去可得：或（舍去），
所以．（2）曲线：，是以为圆心，半径的圆.
设圆心为，点，到直线的距离分别为，，
则，，
所以的最小值为．
23.解答（1）当时，，
∴在单调递减，在上单调递增，
∴时，取得最小值．
（2）
①当时，，符合题意：
②当时，，的解集为，
所以，从而，得，
③当时，，的解集为，
所以，从而或，得，
综上：符合题意要求的实数的取值范围是．