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- 2023-09-17 发布
第二章 函数
第一节 函数的概念及其表示
题型 10 映射与函数的概念
1.（2015 浙江理 7） 存在函数 满足：对任意 都有（ ）．
A. B.
C. D.
1. 解析 本题考查函数的定义，即一个自变量只能对应一个函数值.
对 A，取 ，则当 时， ；当 时， .所以 A 错；
同理 B 错；对 C，取 ， 且 ，所以 C 错.故选 D.
题型 11 同一函数的判断——暂无
题型 12 函数解析式的求法
1. (2013 陕西理 10）设 表示不大于 的最大整数，则对任意实数 ，有（ ）.
A. B.
C. D.
2. （2014 湖北理 14）设 是定义在 上的函数，且 ，对任意 ，
若经过点 的直线与 轴的交点 ，则称 为 关于函数 的
平均数，记为 ，例如，当 时，可得 ，即
为 的算术平均数.
当 时， 为 的几何平均数；
当 时， 为 的调和平均数 ；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
3. （2014 陕西理 10）如图所示，某飞行器在 千米高空水平飞行，从距着陆点 的水平
距离 千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为
（ ）.
O-5
5
2
-2 A
地面隧道
x
y
( )f x x∈R
(sin 2 ) sinf x x= 2(sin 2 )f x x x= +
2( 1) 1f x x+ = + 2( 2 ) 1f x x x+ = +
sin 2 0x = 0x = ( )0 0f = π
2x = ( )0 1f =
1x = ± ( )2 2f = ( )2 0f =
[ ]x x x y，
[ ] [ ]x x− = − [ ] [ ]2 2x x= 4
[ ] [ ] [ ]x y x y+ +≤ [ ] [ ] [ ]x y x y− −≤
( )f x ( )0,+∞ ( ) 0f x > 0, 0a b> >
( )( ) ( )( ), , ,a f a b f b x ( ),0c c ,a b ( )f x
( ),fM a b ( ) ( )1 0f x x= > ( ), 2f
a bM a b c
+= =
( ),fM a b ba,
( ) ( )_____ 0f x x= > ( ),fM a b ba,
( ) ( )_____ 0f x x= > ( ),fM a b ba, ba
ab
+
2
4 A
10
A. B.
C. D.
4.（2015 全国 II 理 5）设函数 ，则
（ ）．
A. B. C. D.
4. 解析 由题意可得， .又由 ，
故有 ，
所以有 .故选 C.
5.（2016 上 海 理 5） 已 知 点 在 函 数 的 图 像 上 ， 则 的 反 函 数
.
5. 解析 由题意 .故 ，从而 ，
所以 .故 .
题型 13 函数定义域的求解
1. （2013 江西理 2）函数 的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
2.（2013 江苏理 11）已知 是定义在 上的奇函数.当 时， ，则不
等式 的解集用区间表示为 .
3. (2013 安徽理 17）设函数 ，其中 ，区间 .
（1）求 的长度（注：区间 的长度定义为 ）；
（2）给定常数 ，当 时，求 长度的最小值；
4.（2014 江西理 2） 函数 的定义域为（ ）.
A. B. C. D.
5.（2014 江西理 3）已知函数 ， ，若 ，
31 3
125 5y x x= − 32 4
125 5y x x= −
33
125y x x= − 33 1
125 5y x x= − +
( ) ( )2
1 1
1 log 2 , 1
2 ,x
x x
f x
x−
+ − <=
( ) ( )22 log 12f f− + =
3 6 9 12
2( 2) 1 log 4 1 2 3f − = + = + = 2 2log 12 log 2 1> =
22 2 2 2
12loglog 12 1 log 12 log 2 log 62
2(log 12) 2 2 2 2 6f − −= = = = =
2( 2) (log 12) 3 6 9f f− + = + =
( )3,9 ( ) 1 xf x a= + ( )f x
( )1f x− =
( )2log 1x − 3 1 9a + = 2a = ( ) 1 2 xf x = +
( )2log 1x y= − ( ) ( )1
2log 1f x x− = −
y = x ln(1 )x−
(0,1) [0,1) (0,1] [0,1]
)(xf R 0>x xxxf 4)( 2 −=
xxf >)(
( ) ( )2 21f x ax a x= − + >0a ( ){ }>0I x f x=
I ( )α β， β α−
( )01k ∈ ， 1 1k a− ≤ ≤ I
( ) ( )2lnf x x x= −
( )0,1 [ ]0,1 ( ) ( ),0 1,−∞ +∞ ( ] [ ),0 1,−∞ +∞
( ) 5 xf x = ( ) 2g x ax x= − ( )a ∈R ( )1 1f g =
则 （ ）.
A. B. C. D.
6.（2014 山东理 3）函数 的定义域为( ).
A. B. C. D.
7.（2016 江苏 5）函数 的定义域是 .
7. 解析 由题意得 ，解得 ，因此定义域为 .
题型 14 函数值域的求解
1.（2014 重庆理 12）函数 的最小值为_________.
2. (2013 重庆理 3） 的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
3.（2015 福建理 14）若函数 （ 且 ）的值域是
，
则实数 的取值范围是 ．
3. 解析 当 时， ，要使得函数 的值域为 ，只需
的值域包含于 ，故 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ．
4.（2015 浙江理 10）已知函数 ，则 ， 的
最小值是 ．
4.解析 利用分段函数表达式，逐步求值.
.
当 时， ；当 时， .
综上， ，所以 ， .
a =
1 2 3 1−
( )
( )2
2
1
log 1
f x
x
=
−
10 2
， ( )2 + ∞， ( )10 2,2
+∞ ， [ )10 22
+ ∞ ， ，
23 2y x x= − −
[ ]3,1− 23 2 0x x− − 3 1x− [ ]3,1−
( ) ( )2 2log log 2f x x x= ⋅
( )( ) ( )3 6 6 3a a a− + − ≤ ≤
9 9
2 3 3 2
2
( ) 6, 2
3 log , 2a
x xf x x x
− += + >
0a > 1a ≠
[ )4,+∞
a
2x 6 4x− + ( )f x [ )4,+∞
( ) ( )1 3 log 2af x x x= + > [ )4,+∞ 1a > ( )1 3 log 2af x > +
3 log 2 4a
+ 1 2a< a ( ]1,2
2
2 3, 1( )
lg( 1), 1
x xf x x
x x
+ −=
+ <
( ( 3))f f − = ( )f x
2( ( 3)) (lg10) (1) 1 3 01f f f f− = = = + − =
1x min( ) 2 2 3 0f x = − < 1x < ( )min( ) 0 0f x f= =
min( ) 2 2 3f x = − ( ( 3)) 0f f − = min( ) 2 2 3f x = −
5.（2015 重庆理 16）若函数 的最小值为 5，则实数 _______.
5.解析 当 时，端点值为 a， ．
（1）当 时， ；
（2）当 时， ；
（3）当 时， ；
如图所示：
由图易知： ，解得 （舍）或 ，所以 ．
当 时，端点值为 .
（1）当 时， ；
（2）当 时， ；
（3）当 时， ；
如图所示：
由图易知： ，解得 （舍）或 ，即 .
当 时， ， ，与题意不符，舍.
综上所述： 或 .
6.（2016 北京理 14）设函数 .
-1
a
a
-1
( ) 1 2f x x x a= + + − a =
1a > − 1−
1x −
( )( ) 1 2 3 2 1f x x a x x a= − − + − = − + −
1 x a− < < ( ) ( )1 2 2 1f x x a x x a= + + − = − + +
x a
( ) ( )1 2 3 2 1f x x x a x a= + + − = − +
( )min 1 5f a a= + = 6a = − 4=a 4a =
1a < − , 1a −
x a
( ) ( )1 2 3 2 1f x x a x x a= − − + − = − + −
1a x< < − ( ) 1 2( ) 2 1f x x x a x a= − − + − = − −
1x −
( ) ( )1 2 3 2 1f x x x a x a= + + − = − +
( )min 1 5f a a= + = 4=a 6a = − 6a=−
1a = − ( ) 3 1f x x= + ( ) ( )min 1 0f x f= − =
6a = − 4
( ) 3 3 ,
2 ,
x x x af x
x x a
−= − >
（1）若 ，则 的最大值为____________________；（2）若 无最大值，则
实数 的取值范围是_________________.
6. ； 解 析 设 函 数 R) ， 得
，
所以函数 y 在 上均是增函数，在 上
是减函数，
当 且 仅 当 时 ， ， 当 且 仅 当 时
.
从而可作出函数 R)及 R)的图像如图所示.
由图可知：
（1）若 ， ；
（2）当 时， 有最大值 ；当 时， 在 时无最大
值，
且 ，所以 ，即 的取值范围是 .
7.（2016 浙江理 18）已知 ，函数 ，其中
（1）求使得等式 成立的 的取值范围；
（2）（i）求 的最小值 ；（ii）求 在区间 上的最大值 .
7. 解 析 （ 1 ） 由 ， 所 以 当 时 ，
，
所以此时 ；
当 时， ①.要使①式小于等于 ，即
，
所以此时 .
0a = ( )f x ( )f x
a
2 ( ), 1−∞ − 3 3 (y x x x= − ∈
3( 1)( 1)y x x′= + −
( , 1),(1, )−∞ − +∞ ( 1,1)−
1x = − =2y极大值 1x =
2y = −极小值
3 3 (y x x x= − ∈ 2 (y x x=− ∈
0a = ( ) ( )max 1 2f x f= − =
1a − ( )f x ( )1 2f − = 1a < − 2 x− x a>
( )3
max
2 3a x x− > − 1a < − a ( ), 1−∞ −
3a { }2( ) min 2 1 , 2 4 2F x x x ax a= − − + −
{ }min , >
p, p q,p q q, p q.
=
2( ) 2 4 2F x x ax a= − + − x
( )F x ( )m a ( )F x [ ]0,6 ( )M a
3a 1x
( )2 22 4 2 2 1 2( 1)(2 ) 0x ax a x x a x− + − − − = + − − >
( ) 2 1F x x= −
1x > ( )2 2 4 2 2 1 2 ( 2 )x ax a x x x a− + − − − = − −（ ） 0
2 2x a≤ ≤
2( ) 2 4 2F x x ax a= − + −
x
y
y=-2x
y=x3-3x
1
2
-1O
由上所述使得等式 成立的 的取值范围为 .
（2）（i）设函数 ， ，
则 ， ，
所 以 由 的 定 义 知 ， 当 时 ， 解 得
；
当 时，解得 .即 .
（ii）当 时， ，所以 在 或 时取得最大
值为 ；
当 时， ，
所以 在两端点 或 时取得最大值. ， ，
所以当 时，有 ；
当 时，有 ，所以 .
2( ) 2 4 2F x x ax a= − + − x [ ]2, 2a
( ) 2 1f x x= − ( ) 2 2 4 2g x x ax a= − + −
( ) ( )min 1 0f x f= = ( ) ( ) 2
min 4 2g x g a a a= = − + −
( )F x ( ) ( ) ( ){ }min 1 ,m a f g a= ( ) ( )1f g a≤
3 2 2a +≤ ≤
( ) ( )1f g a> 2 2a > + ( )
2
0,3 2 2
4 2, 2 2
am a
a a a
+=
− + − > +
0 2x ( ) ( ) 2 1F x f x x= = − ( )F x 0x = 2x =
( ) ( )0 2 2F F= =
2 6x ( ) ( ) ( )22 22 4 2 4 2F x g x x ax a x a a a= = − + − = − − + −
( )F x 2x = 6x = ( )2 2F = ( )6 34 8F a= −
3 4a <≤ ( ) ( )2 6F F<
4a≥ ( ) ( )2 6F F≥ ( ) 34 8 ,3 4
2, 4
a aa a
Μ − <=