- 565.50 KB
- 2023-09-17 发布
鹤壁一中2016—2017学年下期高二第一次月考
数学（理）试卷
（本科考试时间为120分钟，满分为150分）
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1、设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，若是虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2.下面使用类比推理，得到正确结论的是（ ）
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出“”
C.“若” 类推出“ （c≠0）”
D.“” 类推出“”
3.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）
（A）假设不都是偶数 （B）假设都不是偶数
（C）假设至多有一个是偶数 （D）假设至多有两个是偶数
4. 已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于( )
A． B． C． D．
5．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．－＜a＜ D．－＜a＜
6. 用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（ ）
A.增加了一项 B.增加了两项
C.增加了两项，又减少了；
D.增加了一项，又减少了一项；
7. 已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为。类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数的部分图像可能是( )
A B C D
9、如图,正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是 （ ）
A. B. C. D.
10．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（ ）
A. １ B. C. 2 D.
11、若过点与曲线相切的直线有两条,则实数a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
12、设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为（ ）
A 、2008 B、 2004 C、 2002 D 、2000
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是 .
14．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数 ．
15. 正项等比数列中的 ，是函数的极值点，则 .
16．仔细观察右面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是 ________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．（本小题满分10分）
（1）求证：当a、b、c为正数时，
（2）已知
18（本小题满分12分）用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数（），使得每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和,.设第（）行的第二个数为，
（1）写出第7行的第三个数； （2）写出与的关系并求；
（3）设 证明：
19. （本小题满分12分）已知二次函数在处取得极值，且在点
处的切线与直线平行． (1）求的解析式；(2）求函数的单调递增区间及极值。（3）求函数在的最值。
20.（本小题满分12分） 如图所示几何体是正方体截去三棱锥后所得，点为的中点.
(1) 求证：平面平面；
(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过
（1，1）与（）两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M
满足|MA|=|MB|．求证：为定值．
22. （本小题满分12分）设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围。
（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围。
高二下学期第一次月考
数学（理）参考答案
一、选择题 DCBAC CABCD AC
二、填空题 13. =2n+1 14. 1-i 15.1 16. 91
三、解答题
17.（1）证明：左边=
因为：a、b、c为正数
所以：左边
…………5分
（2）证明：要证上式成立，需证 …………2分
需证
需证 …………6分
需证 需证，
只需证1>0 …………8分
因为1>0显然成立，所以原命题成立 …………10分
（18）解析（1）第7行的第三个数为41；-------------------------------2分
（2）由已知得，-------------------------------------4分
，
又--------------------------------------------7分
（3）由（2）， ----9分
----------------------------------------------------------12分
19、(1)由,可得.由题设可得即
解得,.所以.
(2)由题意得,
所以.令,得,.
4/27
0
所以函数的单调递增区间为,.在有极小值为0。在有极大值4/27。
（3）由及（2），所以函数的最大值为2，最小值为0。
20. 解析：(1) 证明：因为几何体是正方体截取三棱锥后所得，
.（6分）
(2) 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
依题意知，，
有
设平面的一个法向量，
有代入得，
设，有，平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角大小为，有，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （12分）
21.【解答】解析（Ⅰ）将（1，1）与（，）两点代入椭圆C的方程，
得解得． ∴椭圆PM2的方程为．
（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时
=．
同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时
=．
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），
则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由解得，，
∴=，同理，
所以=2×+=2，
故=2为定值．
22解：（1）依题意，知的定义域为，
当时，，
………………………………………….2分
令，解得或（舍去），
当时，；当时，，
所以的单调增区间为，减区间为；…………….4分
（2）由题意知，则有在(0,3)上恒成立，所以，当x0=1时，取得最大值，
所以；………………………………………………………………………………8分
（3）当时，，
由，得，又，所以，
要使方程在区间上有唯一实数解，
只需有唯一实数解，……………………………………………10分
令，∴，由得；，得，
∴在区间上是增函数，在区间上是减函数.
，故 . ……………………12分