第二册教师用书（含习题测试）：6-3-2 平面向量的正交分解及坐标表示 6-3-3 平面向量加、减运算的坐标表示 14页

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课 标 解 读 课标要求 核心素养 1.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正 交分解及坐标表示.(一般) 2.能用坐标表示平面向量的加、减运 算.(重点) 1.通过平面向量的正交分解及坐标表示培养直 观想象核心素养. 2.平面向量坐标的概念及其坐标运算,体现了数 学抽象核心素养. - 在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底,任作 一向量 ㌠ . 问题 1:根据平面向量基本定理,有 ㌠ =xi+yj,那么(x,y)与 A 点的坐标相同吗? 答案 相同. 问题 2:如果向量 ㌠ 也用(x,y)表示,那么向量 ㌠ 与实数对(x,y)之间是否一一对应? 答案 一一对应. 1.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解:把一个向量分解为两个互相①垂直的向量,叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示: 前提 设与 x 轴、y 轴方向相同的两个②单位向量分别为 i,j,取{i,j}作为③基底 线性表 示 对于平面内的任意一个向量 a,由平面向量基本定理可知,④有且只有一对实数 x,y,使 得 a=xi+yj 坐标表 示 把有序数对⑤(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y) 特殊坐 标 i=⑥(1,0),j=⑦(0,1),0=(0,0) 特别提醒 点的坐标与向量的坐标的联系与区别 (1)联系:当且仅当向量的起点为原点时,向量终点的坐标等于向量本身的坐标. (2)区别:①点的坐标反映的是点的位置,而向量的坐标反映的是向量的大小和方向,而 向量与位置无关. ②(x,y)在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个 向量.为了加以区分,在叙述中,常说点(x,y)或向量(x,y). 思考:两个向量相等用坐标如何表示? 提示 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a=b⇔ 1 = 2, 1 = 2.2.平面向量的坐标及运算 文字描述 符号表示 点 A(x1,y1),B(x2,y2) 向量 坐标 一个向量的坐标等于 表示此向量的有向线 段的终点 B 的坐标减 去起点 A 的坐标 AB = ⑧(x2-x1,y2-y1) 向量 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2) 加法 两个向量和的坐标分 别等于这两个向量相 应坐标的和 a+b= ⑨(x1+x2,y1+y2) 减法 两个向量差的坐标分 别等于这两个向量相 应坐标的差 a-b= ⑩(x1-x2,y1-y2) 探究一 平面向量的坐标表示 例 1 (1)已知向量 i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量 a,则给出下列结论正确 的有( ) A.存在唯一的一对实数 x,y,使得 a=(x,y) B.若 x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则 x1≠x2,且 y1≠y2 C.若 x,y∈R,a=(x,y),且 a≠0,则 a 的始点是原点 O D.若 x,y∈R,a≠0,且 a 的终点坐标是(x,y),则 a=(x,y) (2)如图所示,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,AB 与 x 轴正半轴成 30°角.求点 B 和点 D 的坐标以及 ㌠ 与 ㌠ 的坐标. 答案 (1)A 解析 (1)由平面向量基本定理,知 A 正确;例如,a=(1,0)≠(1,3),但 1=1,故 B 错误; 因为向量可以平移,所以 a=(x,y)与 a 的始点是不是原点无关,故 C 错误;当 a 的终点坐标是 (x,y)时,a=(x,y)是以 a 的起点是原点为前提的,故 D 错误. (2)由题知 B,D 分别是 30°角,120°角的终边与单位圆的交点. 设 B(x1,y1),D(x2,y2). 由三角函数的定义,得 x1=cos30°= 3 2 ,y1=sin30°= 1 2 ,x2=cos120°=- 1 2 , y2=sin120°= 3 2 , ∴B 3 2 , 1 2 ,D - 1 2 , 3 2 ,又 A(0,0), ∴ ㌠ = 3 2 , 1 2 , ㌠ = - 1 2 , 3 2 . 思维突破 求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. (2)求一个向量的坐标时,首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标 减去起点坐标得到该向量的坐标. 1-1 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 OABC 为平行四边 形.OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°, ㌠ =a, ㌠ =b. (1)求向量 a,b 的坐标; (2)求向量 ㌠ 的坐标. 解析 (1)如图,作 AM⊥x 轴于点 M, 则 OM=OA·cos45°=4× 2 2 =2 2 ,AM=OA·sin45°=4× 2 2 =2 2 , ∴A(2 2 ,2 2 ),故 a=(2 2 ,2 2 ). ∵∠AOC=180°-105°=75°, ∠AOy=45°, ∴∠COy=30°,又 OC=AB=3, 易知 C - 3 2 , 3 3 2 , ∴ ㌠ = = - 3 2 , 3 3 2 , 即 b= - 3 2 , 3 3 2 . (2) ㌠ =- ㌠ = 3 2 ,- 3 3 2 . 探究二 平面向量的坐标运算 例 2 (1)设 i,j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,且 ㌠ =4i+2j, =3i+4j, = ㌠ ,则 C 点的坐标为( ) A.(-2,1) B.(1,-2) C.(2,-1) D.(-1,2) (2)已知三点 A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则向量 ㌠ + ㌠ = , - ㌠ = . 答案 (1)D (2)(5,4);(-6,-9) 解析 (1)由题意可知 ㌠ = - ㌠ =-i+2j.∵ = ㌠ ,∴ =-i+2j,∴C(-1,2). (2)∵A(2,-1),B(3,4),C(-2,0), ∴ ㌠ =(1,5), ㌠ =(4,-1), =(-5,-4), ∴ ㌠ + ㌠ =(1,5)+(4,-1)=(1+4,5-1)=(5,4), - ㌠ =(-5,-4)-(1,5)=(-5-1,-4-5)=(-6,-9). 思维突破 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算. (3)向量加、减坐标运算可完全类比数的运算进行. 2-1 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 = ㌠ , = ,求点 M,N 及 的坐标. 解析 ∵A(-2,4),B(3,-1), C(-3,-4), ∴ ㌠ =(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), =(3,-1)-(-3,-4)=(6,3). 设 M(x1,y1),N(x2,y2), ∵ = ㌠ , = , ∴(x1+3,y1+4)=(1,8),(x2+3,y2+4)=(6,3), ∴x1=-2,y1=4,x2=3,y2=-1, ∴M(-2,4),N(3,-1), ∴ =(3,-1)-(-2,4)=(5,-5). 探究三 平面向量加、减运算的应用 例 3 (易错题)已知点 O 是△ABC 内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设 ㌠ =a, =b, =c, 且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量 ㌠ , 的坐标. 解析 建立如图所示的平面直角坐标系. 因为| |=|b|=1,∠AOB=150°, 所以 B(-cos30°,sin30°), 所以 B - 3 2 , 1 2 . 因为| |=|c|=3,∠BOC=90°, 所以 C(-3sin30°,-3cos30°), 所以 C - 3 2 ,- 3 3 2 , 所以 = - 3 2 ,- 3 3 2 - - 3 2 , 1 2= 3-3 2 ,- 3 3 2 - 1 2 , 易知 A(2,0), 所以 ㌠ = - 3 2 , 1 2 -(2,0)= - 3 2 -2, 1 2 . 易错点拨 向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向,与终点坐标无关,只有当向量的始点是 坐标原点时,向量的坐标与终点的坐标才是一致的. 3-1 已知平面上三个点 A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求点 D 的坐标,使得这四个点为构成平行 四边形的四个顶点. 解析 设点 D 的坐标为(x,y), ①当四边形 ABCD 为平行四边形时, ㌠ = , ∴(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y), 即(1,-1)=(1-x,-2-y), ∴ 1 − = 1, -2- = − 1, 解得 = 0, = − 1, ∴D(0,-1); ②当四边形 ABDC 为平行四边形时,同①可得 D(2,-3); ③当四边形 ADBC 为平行四边形时,同①可得 D(6,15). 综上所述,点 D 的坐标可能为(0,-1)或(2,-3)或(6,15). 1.设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a+b=( ) A.(1,6) B.(5,4) C.(1,-6) D.(-6,5) 答案 A a+b=(3,5)+(-2,1)=(3-2,5+1)=(1,6). 2.已知向量 ㌠ =(1,-2), =(-3,4),则 ㌠ =( ) A.(-4,6) B.(2,-3) C.(2,3) D.(6,4) 答案 A ㌠ = - ㌠ =(-3,4)-(1,-2)=(-4,6). 3.若向量 ㌠ = =(2,0), ㌠ =(1,1),则 ㌠ + 等于( ) A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3) 答案 B ㌠ = ㌠ + =(3,1), = ㌠ - ㌠ =(-1,1), = + =(1,1),所以 ㌠ + =(4,2). 4.如图,向量 a,b,c 的坐标分别是 , , . 答案 (-4,0);(0,6);(-2,-5) 解析 将各向量分别向基底 i,j 所在直线分解, 则 a=-4i+0·j,∴a=(-4,0);b=0·i+6j, ∴b=(0,6);c=-2i-5j,∴c=(-2,-5). 5.已知点 A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2),F(-5,-6).在平面直角坐标系中,分 别作出向量 ㌠ , , ,并求向量 ㌠ , , 的坐标. 解析 如图,描出点 A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2),F(-5,-6),分别作出向 量 ㌠ , , .易知 ㌠ =(2,4), =(-3,4), =(-3,-4). 直观想象——向量的加、减运算 在△ABC 中,点 D 满足 ㌠ =2 ㌠ - ㌠ ,则( ) A.点 D 不在直线 BC 上 B.点 D 在 BC 的延长线 C.点 D 在线段 BC 上 D.点 D 在 CB 的延长线上 答案 D 解析 ㌠ =2 ㌠ - ㌠ = ㌠ + ㌠ - ㌠ = ㌠ + , 如图,作 ' = ,连接 AD', 则 ㌠ + = ㌠ + ' = ㌠' = ㌠ , ∴D'和 D 重合, ∴点 D 在 CB 的延长线上. 故选 D. 素养探究:向量的加减运算借助图像会使问题更简洁,从而培养直观想象核心素养. 平面上有三点 A,B,C,设 m= ㌠ + ,n= ㌠ - ,若 m,n 的长度恰好相等,则有( ) A.A,B,C 三点必在同一直线上 B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角 C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90° D.△ABC 必为等腰直角三角形 答案 C 如图,作▱ABCD, 则 ㌠ + = ㌠ , ㌠ - = ㌠ - ㌠ = , 因为|m|=|n|, 所以| ㌠ |=| |, 所以▱ABCD 为矩形, 所以△ABC 必为直角三角形, 且∠ABC=90°. 1.(多选题)下列说法正确的是( ) A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应 答案 ABD 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故 C 错误, 其余正确,故选 ABD. 2.如果用 i,j 分别表示 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量,且 A(2,3),B(4,2),那么 ㌠ 可以表 示为( ) A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j 答案 C 3.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, ㌠ =(2,4), ㌠ =(1,3),则 ㌠ =( ) A.(2,4) B.(3,5) C.(1,1) D.(-1,-1) 答案 C 4.已知 ㌠ =(-2,4),则下列说法正确的是( ) A.A 点的坐标是(-2,4) B.B 点的坐标是(-2,4) C.当 B 点是原点时,A 点的坐标是(-2,4) D.当 A 点是原点时,B 点的坐标是(-2,4) 答案 D 5.(多选题)在平面直角坐标系中,点 A(2,3),B(-3,4),如图所示,x 轴、y 轴正方向上的两个 单位向量分别为 i 和 j,则下列正确的是( ) A. ㌠ =2i+3j B. =3i+4j C. ㌠ =-5i+j D. ㌠ =5i-j 答案 ACD i,j 互相垂直,故可作为基底, 由平面向量基本定理, 有 ㌠ =2i+3j, =-3i+4j, ㌠ = - ㌠ =-5i+j, ㌠ = ㌠ - =5i-j. 6.已知平行四边形 OABC,其中 O 为坐标原点,若 A(2,1),B(1,3),则点 C 的坐标 为 . 答案 (-1,2) 解析 设点 C 的坐标为(x,y), 则由已知得 = ㌠ , 又 =(x,y), ㌠ =(1,3)-(2,1)=(-1,2), 所以(x,y)=(-1,2). 7.已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,| ㌠ |=4 3 ,∠xOA=60°,则 ㌠ 的坐标为 . 答案 (2 3 ,6) 解析 设点 A(x,y),则 x=| ㌠ |cos60°=4 3 ×cos60°=2 3 , y=| ㌠ |sin60°=4 3 ×sin60°=6, 即 A(2 3 ,6),∴ ㌠ =(2 3 ,6). 8.如图所示,已知直角梯形 ABCD 中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,用向量的方 法证明 DE∥BC. 证明 ∵CE⊥AB,而 AD=DC, ∴四边形 AECD 为正方形. 如图,以 E 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,EC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系. 设|AD|=1,则|DC|=1,|AB|=2. ∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1). ∴ =(-1,1)-(0,0)=(-1,1), =(0,1)-(1,0)=(-1,1), ∴ = ,∴ ∥ ,即 DE∥BC. 9.已知点 A(0,1),B(3,2), ㌠ =(-4,-3),则向量 =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 答案 A 设 C(x,y),∵A(0,1), ∴ ㌠ =(x,y-1)=(-4,-3), ∴ = − 4, -1=-3, 解得 = − 4, = − 2,∴C(-4,-2),又 B(3,2),∴ =(-7,-4). 10.在▱ABCD 中,已知 ㌠ =(3,7), ㌠ =(-2,3),对角线 AC,BD 相交于 O 点,则 的坐标是( ) A. - 1 2 ,5 B. - 1 2 ,-5C. 1 2 ,-5 D. 1 2 ,5答案 B 由向量加法的平行四边形法则可得 ㌠ = ㌠ + ㌠ =(3,7)+(-2,3)=(1,10), ∴ =- 1 2 ㌠ = - 1 2 ,-5 . 11.如图,在正方形 ABCD 中,O 为中心,且 ㌠ =(-1,-1),则 = ; = ; = . 答案 (1,-1);(1,1);(-1,1) 解析 根据题意,知点 A 与点 B 关于 y 轴对称,与点 C 关于原点对称,与点 D 关于 x 轴对称, 又 ㌠ =(-1,-1),O 为坐标原点,∴A(-1,-1), ∴B(1,-1),C(1,1),D(-1,1), ∴ =(1,-1), =(1,1), =(-1,1). 12.已知平行四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D 的坐标依次为(3,-1),(1,2),(m,1),(3,n), 则 msinα+ncosα的最大值为 . 答案 5解析 ∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴ ㌠ = . 又 A(3,-1),B(1,2),C(m,1),D(3,n),∴(3-3,n+1)=(m-1,1-2), 即 -1=0, + 1 = − 1, 解得 m=1,n=-2, ∴msinα+ncosα=sinα-2cosα= 5 sin(α+φ), 其中 tanφ=-2, 故 msinα+ncosα的最大值为 5 . 13.已知向量 u=(x,y)和向量 v=(y,2y-x)的对应关系可以用 v=f(u)表示. (1)若 a=(1,1),b=(1,0),试求向量 f(a)及 f(b)的坐标; (2)求使 f(c)=(4,5)的向量 c 的坐标. 解析 (1)由 v=f(u)可得,当 u=(x,y)时,有 v=(y,2y-x)=f(u),从而 f(a)=(1,2×1- 1)=(1,1),f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1). (2)设 c=(x,y),则 f(c)=(y,2y-x)=(4,5), ∴ = 4, 2- = 5, 解得 = 3, = 4, 即 c=(3,4).