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- 2023-08-08 发布
福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.）
1.设全集是实数集，已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知数列为等比数列，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4..我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”即是面积.意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等， 那么这两个几何体的体积相等.已知某不规则几何体与如图（1）所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体
的体积为（图（1）中的网格纸中的小正方形的边长为）（ ）
A． B． C. D．
5..阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A． B． C. D．
6.将函数（）的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A． B． C. D．
7.已知实数，满足，若使得目标函数取最大值的最优解有无数个，则实数的值是（ ）
A． B． C. D．
8.若圆：（）始终平分圆：的周长，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
9..下列命题中，真命题的个数为①对任意的，，是的充要条件；②在中，若，则；③非零向量，，若，则向量与向量的夹角为锐角；④.（ ）
A． B． C. D．
10.已知，是上的两个随机数，则到点的距离大于其到直线的距离的的概率为（ ）
A． B． C. D．
11.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为右顶点，为双曲线左支上一点，若存在最小值为，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数的图象上有且只有四个不同的点关于直线的对称点在直线上，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数据，的取值如下表：
1
2
3
4
5
从散点图可知，与呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线上，则的取值为 ．
14.设，则二项式展开式中含项的系数是 ．
15.在平面四边形中，，，，，则的最大值为 ．
16.表面积为的球面上有四点，，，，且为等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明或推理、验算过程.
17.已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.如图，在四棱锥中，是的中点，底面为矩形，，，，且平面平面，平面与棱交于点，平面与平面交于直线.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值为，求的余弦值.
19.在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微
信交流”的态度进行调查，随机抽取了人，他们年龄的频数分布及对 “使用微信交流”赞成的人数如
下表：（注：年龄单位：岁）
年龄
频数
赞成人数
（1））若以“年龄岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？
年龄不低于岁的人数
年龄低于岁的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（2））若从年龄在，的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的人中赞成“使用微信交流”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
附：参考数据如下：
参考公式：，其中.
20. 已知椭圆：（）的右焦点在直线：上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线经过点，且与椭圆有两个交点，，是否存在直线：（其中）使得，到的距离，满足恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
21. 已知函数，，（）.
（1）讨论函数在上零点的个数；
（2）若有两个不同的零点，，求证：.
（参考数据：取，取，取）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）当时，与相交于，两点，求的最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）解不等式；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中数学（理）试题
一、选择题：
1-5:CDDBB 6-10:BDACA 11、12：AC
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17.解：（1）∵，又，∴，∴，∴（）
∴，
当时，，
当时，，不满足上式，故.
（2）令，
当时，；
当时，
∴
∴
而满足上式，故
18.解：
（1）矩形中，
∵面，平面，
∴平面，
又平面，
平面平面，∴，
又平面平面，∴
∴.
（2）取中点，连接，∵，∴，
又平面平面，且平面平面，
∴平面，连接，则为在平面内的射影，
∴为与平面所成角，∴.
∴，由题，∴
取中点，连接，以为坐标原点，分别以，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系：
则：，，，，则，，
设平面的法向量为，于是，∴，令，则，
∴平面的一个法向量
同理平面的一个法向量为，
∴.
可知二面角为钝二面角
所以二面角的余弦值为
19.解：（1）列联表：
年龄不低于岁的人数
年龄低于岁的人数
合计
赞成
不赞成
合计
由表可得：
∵
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”
（2）由题知：所有可能取值为：，，，
则：；；
；.
所以的分布列为：
0
1
2
3
所以的数学期望为：.
20.解：（1）设椭圆焦距为（），右焦点 为，
∵直线与轴的交点坐标为∴.
设椭圆上任意一点和关于原点对称的两点，，
则有，∴
又∵即∴
又，∴，.
∴椭圆的方程为.
（2）存在符合题意，理由如下：
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，联立，得
恒成立
，
不妨设，
∴
∴，整理得，即满足条件
当直线的斜率不存在时，显然满足条件
综上，时符合题意.
21.解：（1）由题得，，（）
当时，单调递增；
当时，单调递减.
∴当时，
①当即时无零点，故在上无零点.
②即时，由单调性可知在上有唯一零点为.
③即时，由于，
（ⅰ）若即显然
由单调性可知在上有两个零点.
（ⅱ）即，由单调性可知在上只有一个零点.
综上，当时，在上无零点；
当或时，在上有唯一零点；
当时，在上有两个零点.
（2）由题知，，
两式相加得，
两式相减得即
∴
即
不妨设，，令（），
则∴在上单调递增，
则，∴即
∴
又
∴，即
令，∴，∴在上单调递增，
又
∴，即.
22.【解析】（1）由直线的参数方程（为参数）
消去参数得，，
即直线的普通方程为，
由圆的极坐标方程为，得（*），
将代入（*）得，，
即的直角坐标方程为.
（2）将直线的参数方程代入得，，
设，两点对应的参数分别为，，
则，，
所以
因为，，
所以当，时，取得最小值
【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】
解法二：（1）同解法一
（2）由直线的参数方程知，直线过定点，
当直线时，线段长度最小.
此时，，
所以的最小值为
解法三：（1）同解法一
（2）圆心到直线的距离，
，
又因为，所以当时，取得最大值.
又，所以当时，取得最小值.
23.【解析】试题分析：（1）先求出）先求出的表达式，得到关于的不等式组，解出即可；（2）问题转化为：，求出的最小值，从而求出的范围即可．
试题解析：（1）由题得，，
则有或或
解得或或，
综上所述，不等式的解集为
（2）存在，使不等式成立等价于
由（1）知，时，，
∴时，，
故，即
∴实数的取值范围为