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- 2023-08-08 发布
27.3 圆中的计算问题
第2课时 圆锥及其侧面积
知|识|目|标
1．经历阅读、动手实践和思考，理解圆锥的侧面展开图是一个扇形，并知道圆锥母线、底面周长与扇形半径、弧长的关系．
2．通过阅读、思考、归纳等过程，能熟练进行圆锥的半径、高、母线等相关计算．
3．通过例题学习、变式和总结，能够正确地计算圆锥的侧面积和全面积．
目标一 理解圆锥的相关概念
例1 教材补充例题将一个圆锥的侧面沿它的一条母线剪开铺平，思考圆锥中的各元素与它的侧面展开图中的各元素之间的关系．圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图27－3－4，设圆锥的母线长为a，底面半径为r，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，因此， 圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为____________．
图27－3－4
目标二 掌握圆锥中半径、高、母线等有关计算
例2 教材例2针对训练 (1)如图27－3－5，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为( )
图27－3－5
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A.π B.π C. D.
(2)用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片无重叠地卷成一个圆锥形纸帽(如图27－3－6所示)，则这个纸帽的高是( )
图27－3－6
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．4 cm
(3)若一个圆锥的底面半径为6 cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为( )
A．9 cm B．12 cm
C．15 cm D．18 cm
【归纳总结】圆锥及其侧面展开图之间转换的“两个对应”：
(1)圆锥的母线与展开后扇形的半径对应；
(2)展开后扇形的弧长与圆锥底面的周长对应．
根据这两个对应关系列方程求解是解决这两者转换问题的主要方法．
目标三 会计算圆锥的侧面积和全面积
例3 教材补充例题 (1)如图27－3－7，圆锥的底面半径r为 6 cm，高h为 8 cm，则圆锥的侧面积为( )
图27－3－7
A. 30π cm2 B．48π cm2
C．60π cm2 D．80π cm2
(2)若圆锥底面的直径为6 cm，高为4 cm，则它的全面积为__________．(结果保留π)
【归纳总结】求圆锥侧面积的“三个公式”：
(1)已知圆锥的侧面展开扇形的圆心角n°和母线长r，一般用S侧＝.
(2)已知圆锥的侧面展开扇形的弧长l和母线长r，一般用S侧＝lr.
(3)已知圆锥的底面半径r和母线长l，一般用S侧＝πrl.
例4 教材补充例题 如图27－3－8所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，求以AB所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体的全面积．
图27－3－8
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【归纳总结】计算圆锥全面积的“四个关键点”：
(1)分析清楚几何体表面的构成．
(2)弄清圆锥与其侧面展开图——扇形各元素之间的对应关系．
(3)圆锥的母线l，底面半径r和圆锥的高h之间的关系为l2＝r2＋h2.
(4)圆锥的全面积等于其侧面积与底面积的和.
知识点一 圆锥的相关概念
(1)圆锥的母线：我们把圆锥底面________任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，如图27－3－9中的a.
图27－3－9
(2)圆锥的高：连结顶点与底面________的线段叫做圆锥的高，如图27－3－9中的h.
[点拨] (1)圆锥的侧面展开图是扇形；(2)扇形的半径是圆锥的母线；(3)扇形的弧长是圆锥的底面周长．
知识点二 圆锥的侧面积和全面积
(1)圆锥的侧面展开图如图27－3－10.
沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个________，这个扇形的弧长等于圆锥________的周长，而扇形的半径等于圆锥母线的长．
(2)圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长，半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与底面积的和．
图27－3－10
计算公式：S侧＝a·2πr＝πra(其中r为圆锥底面的半径，a为圆锥的母线长)．
圆锥的全面积＝侧面积＋底面积，
计算公式：S全＝S侧＋S底＝πra＋πr2＝πr(a＋r)(其中r为圆锥底面的半径，a
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为圆锥的母线长)．
已知圆锥的侧面展开图是圆心角为180°的扇形，底面积为15 cm2，求圆锥的侧面积S.
解：设圆锥底面的半径为r cm，则πr2＝15，
∴r2＝.
∵圆锥的侧面展开图是圆心角为180°的扇形，
∴S＝＝π×＝7.5(cm2)．
上述解答过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．
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教师详解详析
【目标突破】
例1 [答案] a 2πr πra πra＋πr2
例2 [解析] (1)B 根据题意可知：扇形的弧长为＝，∴圆锥的底面周长是.
(2)C 设圆锥形纸帽的底面半径为r cm，则2πr＝，解得r＝2.设圆锥形纸帽的高为h cm，由h2＋r2＝62，得h2＋22＝62，解得h＝4 .
(3)B 设圆锥的母线长为l cm，则πl＝2π×6，解得l＝12.
例3 [答案] (1)C (2)24π cm2
[解析] (1)∵r＝6 cm，h＝8 cm，
∴l＝＝＝10(cm)，
∴圆锥的侧面积为πrl＝π×6×10＝60π(cm2)．
故选C.
(2)如图，AO＝4 cm，BC＝6 cm，∴BO＝3 cm.在Rt△AOB中，AB＝＝5 cm，运用圆锥的全面积公式得S全＝π×5×3＋π×32＝24π(cm2)．
例4 [解析] 以AB所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求圆锥的侧面积之和．
解： 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，
∴由勾股定理得AC＝12 cm，
∴CD＝＝＝(cm)，
∴以D为圆心，以CD长为半径的圆的周长为2π×＝(cm)，
∴S全＝××5＋××12＝(cm2)．
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即以AB所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体的全面积为 cm2.
备选目标 圆锥中的最短路径问题
例 如图①，圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B，它爬行的最短路程是多少？
解：如图②，设圆锥的侧面展开图为扇形ABB′，∠BAB′＝n°，连结BB′，BB′即为蚂蚁爬行的最短路线．
∵圆锥底面半径为1,
∴l＝2π.
又∵l＝，
∴2π＝，解得n＝60，
∴△ABB′是等边三角形，
∴BB′＝AB＝6.
即蚂蚁爬行的最短路程为6.
【总结反思】
[小结] 知识点一 (1)圆周上 (2)圆心
知识点二 (1)扇形 底面
[反思] 不正确．
正解：设圆锥底面的半径为r cm，扇形的半径为R cm，则πr2＝15，
∴r＝.
∵圆锥的侧面展开图是圆心角为180°的扇形，
∴2πr＝πR，
∴R＝2r＝2，
∴S＝πrR＝π××2＝30(cm2)．
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