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- 2023-06-26 发布
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一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
考点：同角三角函数关系
【方法点睛】三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异。
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的。
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角。
2.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法
【答案】D
【解析】
试题分析：由于男生组与女生组有明显差异，所以适合分层抽样，选D.
考点：抽样方法
3.已知变量满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．1 C．-5 D．-6
【答案】C
【解析】
考点：线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
4.某学校举办一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高一（1）班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的）无法看清，若记分员计算无误，则数字应该是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得当时，当时，选A.
考点：茎叶图
5.执行如图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为（ ）
A．105 B．16 C．15 D．1
【答案】C
【解析】
考点：循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
6.4张卡片上分别有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：从这4张卡片中随机抽取2张，共有6种不同取法，其中取出的2张卡片上的数字之和为奇数有4种不同取法，故所求概率为，选C.
考点：古典概型概率
【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
7.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
考点：三角函数图像变换
【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
8.在等比数列中，，若对正整数都有，则公比的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：对正整数都成立，所以，选B.
考点：等比数列基本量
9.函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：为奇函数，所以不选A,当时，所以不选B; 当时，所以不选C.，选D.
考点：函数图像
【思路点睛】(1)
运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
10.在矩形中，，，点为矩形内一点，则使得的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
考点：几何概型概率
【方法点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
11.正项等比数列的前项和为，若，成等差数列，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，而，当且仅当时取等号，选D.
考点：等比数列性质
【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
12.设，，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
考点：奇函数性质
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则____________.
【答案】-6
【解析】
试题分析：由题意得
考点：等比数列与等差数列综合
14.若，，且，则的最小值是________.
【答案】16
【解析】
试题分析：，当且仅当时取等号
考点：基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、
“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
15.若非零向量满足，与的夹角为120°，则的取值范围是________.
【答案】
考点：正弦定理
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
16.已知，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
试题分析：因为为R上单调增函数，也为奇函数，所以对任意都成立，即只需，实数的取值范围是
考点：利用函数性质解不等式
【思路点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内；在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设，其中向量，，，且函数的图像经过点.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的最小值及此时的值的集合.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的最小值为，值的集合为.
【解析】
考点：向量数量积，配角公式
【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.
18.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：.
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（Ⅲ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）73（Ⅲ）10
【解析】
考点：频率分布直方图
19.的内角的对边分别为，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的周长为，面积为，求.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
考点：正余弦定理，面积公式
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
20.已知数列的前项和为，且满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设函数，数列满足条件，，，若，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（2）①∵，，
∴，∴.
∴,,
，又∵，
∴是以2为首项3为公差的等差数列，
∴.
考点：由和项求通项，等差与等比数列定义，错位相减法求和
【方法点睛】等比数列的判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列；
(2)等比中项法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列；
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.
21.如图，公园有一块边长为2的等边三角形的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.
（Ⅰ）设,，求用表示的函数关系式；
（Ⅱ）如果是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，的位置应在哪里 ？ 如果是参观线路，则希望它最长，的位置又应在哪里？ 请予以证明.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）如果是水管，，且.如果是参观线路，为中线或中线
【解析】
（2）如果是水管，
当且仅当，即时“=”成立，故，且.
如果是参观线路，记，
可知函数在上递减，在上递增，
故，∴.
即为中线或中线时，最长.
考点：函数实际应用，基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
22.已知.
（Ⅰ）若，求方程的解；
（Ⅱ）若关于的方程在（0,2）上有两个解，，求的取值范围，并证明.
【答案】（Ⅰ）或.（Ⅱ）详见解析
【解析】
试题解析：（1）当时，，
①当，即或时，方程化为，解得，
因为，舍去，所以；
②当，即时，方程化为，解得：；
由①②得，当时，方程的解为或.
考点：利用绝对值定义解不等式
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．