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- 2021-06-26 发布
【学习目标】
掌握与圆锥曲线有关的定点问题、定值问题的求解方法；会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的探究与推导最值问题，培养推理思维能力、运算能力.
【高考模拟】
一、单选题
1．设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆M：所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据垂径定理求出圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可得，得到，即可求出，根据正弦定理可得
【详解】
，即，
，
，
根据正弦定理可得
，，
故选
【点睛】
本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，考查了直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，考查了学生的计算能力，属于中档题。
2．设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则
A． 6 B． 9 C． 3 D． 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先设出点的坐标，然后利用平面向量的坐标运算法则和向量模的坐标运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
同理有：，，
.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查抛物线方程及其应用，平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为， 是抛物线的焦点，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线性质以及焦半径公式得到|PnF|==xn+1，由此能求出结果．
【详解】
【点睛】
本题主要考查了抛物线的简单几何性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。
4．方程表示的曲线是 （ ）
A． 一条直线 B． 两个点 C． 一个圆和一条直线 D． 一个圆和一条射线
【答案】A
【解析】
【分析】
将方程等价变形，即可得出结论．
【详解】
【点睛】
本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．圆锥曲线中的求轨迹方程的常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。
5．椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过点F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则|y2-y1|的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定内切圆半径，然后利用等面积法求解|y2-y1|的值即可.
【详解】
设内切圆半径为，由题意可得：，则，
由椭圆的方程可知：，
则的周长为：，
设的面积为，利用等面积法可得：，
即：，解得：.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查焦点三角形的处理方法，圆与三角形内切的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】
分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M到直线的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．
∴抛物线的方程为，焦点坐标为．如图，
点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．
7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，椭圆与双曲线的离心率分别为的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 设椭圆和双曲线的半焦距为，
由于是以为底边的等腰三角形，若，即有，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，即有，
再由三角形的两边之和大于第三边，可得，则，即有，
由离心率公式可得，
由于，则由，则，
所以的取值范围是，故选B.
点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．
8．已知双曲线的一条渐近线恰好是圆的切线，且双曲线
的一个焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：根据题意，求出双曲线的渐近线方程，再根据焦点到渐近线的距离为，求得双曲线的参数，即可确定双曲线方程.
点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，直线与圆位置关系和点到直线距离的求法，考查计算能力.
9．已知曲线的离心率为，且双曲线与抛物线的准线交于，则双曲线的实轴长（ ）
A． B． C． 2 D．
【答案】D
【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得准线方程，利用三角形的面积，求得A，B坐标，结合离心率，即可求出2a．
点睛：本题主要考查了抛物线以及双曲线的简单性质．解题的关键是通过三角形求出A、B的坐标，是解题的关键，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.
10．已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为( )
A． B． 2 C． 1 D． 8
【答案】C
【解析】试题分析：求得圆心，可得抛物线C1方程，与圆C的交点A，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值．
详解：
圆C：（x﹣1）2+y2=4的圆心为焦点（1，0）的抛物线方程为y2=4x，
由 ，解得A（1，2），
抛物线C2：x2=8y的焦点为F（0，2），准线方程为y=﹣2，
即有|BM|﹣|AB|=|BF|﹣|AB|≤|AF|=1，
当且仅当A，B，F（A在B，F之间）三点共线，可得最大值1，
故选：C.
点睛：本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.
11．已知抛物线y2＝8x的焦点到双曲线E： －＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是( )
A． (1， ] B． (1,2]
C． [，＋∞) D． [2，＋∞)
【答案】B
12．(2018·天津红桥区期末)已知双曲线的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )
A． 1 B．
C． 2 D． 3
【答案】C
【解析】∵双曲线的方程为
∴双曲线的渐近线的方程为
∵抛物线的准线方程是
∴双曲线的渐近线与抛物线准线相交的， 两点的纵坐标分别是
点睛：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出， 两点的纵坐标，结合对称性列出三角形的面积也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨.
13．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，令，由题意可得： ，
据此可得： ，则： ，
点睛：圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
14．设分别为椭圆与双曲线公共的左、右焦点，两曲线在第一象限内交于点， 是以线段为底边的等腰三角形，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，在椭圆中，根据椭圆的定义，有；根据等腰三角形，有，根据椭圆离心率的取值范围得，解得.在双曲线中，根据双曲线的定义和等腰三角形，有，所以.
【点睛】本题主要考查圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的定义，考查双曲线的定义，考查等腰三角形的几何性质.由于为椭圆和双曲线的交点，故它满足两个曲线的定义，由于题目已知的是椭圆离心率的取值范围，从椭圆的定义出发，求得的取值范围，再代入双曲线的离心率，即可求得双曲线离心率的取值范围.
15．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，抛物线的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上的动点到点距离的最小值是（ ）
A． 5 B． 4 C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，可得到， ， 抛物线设抛物线上的点为
当x=1时，有最小值.
故答案为：D。
16．已知抛物线： 与点，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D． 2
【答案】D
点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
17．已知曲线上任意一点到（， ）与直线的距离之和等于5，对于给定的点（， ），在曲线上恰有三对不同的点关于点对称，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设曲线C上一点 化简为
在同一坐标系中画出图像可以观察出来图像关于x轴对称，故得到关于B点对称的一定有一对，并且这一对是关于x轴对称的分布的。另外设点D在曲线C的第一段上上 它关于B点的对称点为在曲线C的第二段上，故得到
故答案为：A。
点睛：这道题目圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法， 直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。
18．已知， 其中是常数且，若的最小值是，满足条件的点是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=4，
把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入4x2+y2=16，
得
两式相减得2（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，
∴k= ∴此弦所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣4=0．
故答案为：B。
点睛：这个题目考查了均值不等式求最值的应用，1的妙用；椭圆中点弦的问题，解决中点弦问题的常用方法有：点差法，联立直线和椭圆，借助弦的中点坐标公式，结合韦达定理，两根之和，也可以解决。
19．若圆锥曲线的焦点在圆上，则常数（ ）
A． 4 B． -6 C． 4或-6 D． 或
【答案】D
20．若抛物线的准线与椭圆相切，则正常数（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】由抛物线的标准方程可得其准线为： ，
直线与椭圆相切，则椭圆过点，即： ，
据此可知：正常数 2.
本题选择B选项.
二、填空题
21．已知直线：与圆相交于两点，且三角形的面积取得最大值，又直线与抛物线相交于不同的两点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题干知道当三角形为等腰直角三角形时面积最大，可以得到圆心到直线的距离为1，进而得到k和t的等量关系，之后联立直线和抛物线得到二次方程，只需要此方程有两个不等根即可，故使得判别式大于0即可，代入得到t的范围.
【详解】
【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
22．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
设，，求出的坐标，得到圆的方程，联立直线方程与圆的方程，求得的坐标，结合，求得值得答案．
【详解】
设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，
由得或，
因为，所以，故答案为3.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的坐标运算，考查圆的方程的求法，解题的关键是得到点的坐标，是中档题．
23．已知是与的等比中项，则圆锥曲线的离心率是__________．
【答案】或
【解析】分析：根据等比中项，可求出m的值为；分类讨论m的不同取值时圆锥曲线的不同，求得相应的离心率。
点睛：本题考查了数列和圆锥曲线的综合应用，基本概念和简单的分类讨论，属于简单题。
24．已知点 是双曲线 的左焦点，过 且平行于双曲线渐近线的直线与圆 交于另一点 ，且点 在抛物线 上，则该双曲线的离心率的平方是________________．
【答案】
【解析】
【分析】
通过圆的方程、抛物线方程、直线的位置关系，得到方程组，进而求得 的关系；由双曲线 的关系求得离心率表达式。
【详解】
设抛物线的准线方程为，作 于Q；设双曲线右焦点为 ，P（x，y）
由题意可知 为圆 的直径，
所以 ，且
所以 ，化简得
又因为在双曲线中
代入求得
【点睛】
本题考查了直线方程、圆方程、双曲线方程的综合应用，利用平面几何知识找出各方程间的关系，进而得出解，属于中档题。
25．已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，是椭圆的另一焦点，是抛物线上的动点，当取得最小值时，点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】分析：由题意可知与抛物线相切时，取得最小值，求出此时点的坐标，代入椭圆方程求出的值，即可求解其离心率．
点睛：本题考查了抛物线的定义及几何性质的应用，以及椭圆的离心率的求解，其中根据抛物线的定义与几何性质，得到关于的方程组是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．
26．平面直角坐标系 中，椭圆（ ）的离心率，，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点.则__________．
【答案】
【解析】分析：由题意首先设出椭圆方程，结合几何关系确定直线的斜率，然后由弦长公式求得弦长，最后求解的值即可.
在中，，
故.
点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
27．设圆的圆心为双曲线的右焦点，且圆与此双曲线的渐近线相切，若圆被直线截得的弦长等于2,则的值为__________．
【答案】
【解析】分析：先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆被直线截得的弦长等于2，求出与圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求出．
故答案为.
点睛：本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，直线的方程，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式等基础知识．当直线与圆相切时，其圆心到直线的距离等于半径是解题的关键，当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的方法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.
28．已知圆C 过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
【答案】.
【解析】试题分析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．由此可求出它到双曲线中心的距离．
点睛：本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用．以及圆的性质的应用，圆锥曲线的 常会用到：焦三角形内切圆的结论，解决圆锥曲线中和焦三角形有关的问题，主要应用到圆锥曲线的定义，余弦定理，面积公式等.
29．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是________．
【答案】4
【解析】试题分析：利用圆x2+y2=1上的点到点M（3，4）的距离的最小值=|OM|﹣R即可得出．
详解：
圆x2+y2=1上的点到点M（3，4）的距离的最小值=|OM|﹣R，==4．
故答案为：4．
点睛：本题考查了点与圆的位置关系及其两点间的距离公式，属于基础题．在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.
30．已知， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且为直角，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则的值为_________．
【答案】2.
【解析】分析：由题意设出椭圆的长轴和双曲线的实轴长，然后结合双曲线、椭圆的定义和勾股定理整理计算即可求得最终结果.
点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
31．(2018·广东揭阳一中、汕头金山中学联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为
∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
∵抛物线上一点到其焦点的距离为
∴根据抛物线的定义可得，即.
∴
由对称性，不妨取.
∵双曲线的左顶点为
∴，则直线的斜率为.
∵双曲线的一条渐近线与直线垂直
∴
∴
故答案为.
32．两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为____________.
【答案】或
【解析】分类讨论：
当双曲线的焦点位于轴时，其标准方程为，其渐近线方程为： ，
则： ，解得： ，双曲线的方程为；
当双曲线的焦点位于轴时，其标准方程为，其渐近线方程为： ，
则： ，解得： ，双曲线的方程为；
综上可得，双曲线方程为： 或.
点睛：求解双曲线的标准方程的关键就是找出双曲线中a，b的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题．
33．关于曲线，给出以下结论：
①当时，曲线为椭圆；②当为第二、第四象限角时，曲线为双曲线；
③当时，曲线为焦点在轴上的双曲线；
④当时，曲线为两条直线.
写出所有你认为正确的结论的序号__________．
【答案】②③
【点睛】本题主要考查圆锥曲线方程的判断，考查三角函数正弦值与余弦值在各个象限的正负.根据三角函数的定义，由于，故在一、二象限，正弦值是正数，在三、四象限，正弦值为负数；由于，故在一、四象限，余弦值是正数，在三、四象限，余弦值为负数.
34．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为_________.
【答案】12
【解析】抛物线的焦点坐标为
∵双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合
∴
∵双曲线的离心率为2
∴
∴，即
∵
∴
故答案为12
35．以椭圆焦点为双曲线的顶点，以椭圆的顶点为双曲线的焦点，则该双曲线的方程是__________．
【答案】
36．已知椭圆的一个焦点为， 为椭圆的右顶点，以为圆心的圆与直线相交于两点，且， ，则圆的半径为__________．
【答案】
【解析】如图所示，取的中点，连结，
由题意可得： ，
结合圆的性质有： ，
在等腰直角三角形中，令，则： ，
中， ，
，则，结合可得椭圆方程为，
则，
圆的半径.
37．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为______．
【答案】3
【解析】双曲线－y2＝1的渐近线为： ,
抛物线x2＝4y的准线为： .
联立两直线得： .
三角形OAB的面积为.
故答案为： .
38．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为___．
【答案】4
【解析】椭圆的右焦点为，故抛物线焦点也是这个，
故答案为：4.
39．曲线的方程为.
①请写出曲线的两条对称轴方程____________；
②请写出曲线上的两个点的坐标____________；
③曲线上的点到原点的距离的取值范围是___________.
【答案】 ， ， ， 中的任意两条都对 ， 此答案不唯一
40．曲线的方程为
①请写出曲线的一条对称轴方程_________；
②请写出曲线上的两个点的坐标_________；
③曲线上的点的纵坐标的取值范围是_________.
【答案】 （或） 此答案不唯一
【解析】曲线的方程为 即为，即有
∴，则
①将换为， 不变，方程不变，可得曲线的一条对称轴为，同理可得另一条对称轴为
②令，可得或，可得曲线上的两点的坐标为，
③由，即，平方可得
∴
∴，即
∴曲线上点的纵坐标范围是
故答案为(1). （或） (2). 此答案不唯一 (3).
三、解答题
41．已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，直线：与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意结合椭圆的离心率求解a,b,c的值，然后确定椭圆方程即可；
（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合两点之间距离公式求得面积函数，利用二次函数的性质即可求得四边形面积的取值范围.
【详解】
（1）由椭圆焦距为，设，，连结，设，
则，又，得，
，
解得，，所以椭圆方程为；
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
42．已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，直线：与椭圆相交于、
两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意结合椭圆的离心率可得，，则椭圆方程为；
（2）设直线方程：，、，联立直线方程与椭圆方程可得，由两点之间距离公式可得，由直线与椭圆相交可得 ，且，故 ，结合二次函数的性质可得四边形面积的取值范围．
【详解】
（1）由椭圆焦距为，设，，连结，设，
则，又，得，
，
解得，，所以椭圆方程为；
（2）设直线方程：，、，
由，得，所以，
由（1）知直线：，代入椭圆得，得，
由直线与线段相交于点，得 ，
，
而与，知， ，
由，得，所以，
四边形面积的取值范围．
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
43．已知椭圆的离心率为，点在上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题可得则椭圆程为.
（Ⅱ）设直线联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式可得,，
令直线为且令联立椭圆方程结合韦达定理计算可得，即为定值.
【详解】
（Ⅰ）由题可得
所以
所以椭圆程为.
【点睛】
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
44．已知椭圆的一个顶点坐标分别为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，点是该椭圆内一点，四边形的对角线交于点P .设直线，记 求的最大值.
【答案】（1）椭圆方程为：；（2）..
【解析】
【分析】
（1）顶点坐标分别为，可得到参数b,再由离心率可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆方程得到关于x的二次方程，，，由均值不等式得到最值即可.
【详解】
（Ⅰ）顶点坐标分别为，椭圆方程为：.
（Ⅱ）(注：直线斜率为1可确保CD//AB)
联立与椭圆方程，整理得：,
，又直线不过点，得
，，
(当且仅当时取等号)，所以.
【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
45．已知，直线：，椭圆：，、分别为椭圆的左、右焦点.
（1）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（2）设直线与椭圆交于、两点，、的重心分别为、.若原点在以线段为直径的圆上，求实数的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
（1）由题意结合点的坐标可得，则直线的方程为；
（2）设，，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和重心坐标公式可得，，利用向量垂直的充分必要条件计算可得.
【详解】
（2）设，，
由，消去得，
则由，知，
且有，，
由于，，可知，，
由题意可知，，
而 ，
所以，，满足，又因为，所以.
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
46．设直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，直线，，，（为坐标原点）的斜率分别为，，，，若.
（1）是否存在实数，满足，并说明理由；
（2）求面积的最大值.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】
【分析】
设直线方程为，，，，，联立直线方程与抛物线方程可得，，由直线垂直的充分必要条件可得.联立直线方程与椭圆方程可得，.
（1）由斜率公式计算可得.
（2）由弦长公式可得.且点到直线的距离，故，换元后结合均值不等式的结论可知面积的最大值为.
【详解】
设直线方程为，，，，，
联立和，
得，
则，，.
由，所以，得.
联立和，得
，
所以，.
由，得.
（1）因为，，
所以.
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
47．已知在平面直角坐标系中，椭圆C：离心率为，其短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为，，且， ，（为非零实数），求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意，求得，由，得，再利用，即可求得，得到椭圆的标准方程；
（2）由（1），设，因为，得到，
两边同时乘以得，，得到，，代入椭圆的方程得，同理得，即可得到结论.
【详解】
（1）解：因为短轴长2b=2，所以b=1，
又离心率，所以，
所以，所以，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）由（1），点A，设，
则
因为，所以，
由①得，， 由②得，，
所以，
两边同时乘以k1得，，
所以，，
代入椭圆的方程得，，
同理可得，，
所以．
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
48．以原点为圆心，半径为的圆 与直线相切.
（1）直线过点且截圆所得弦长为求直线的方程；
（2）设圆与轴的正半轴的交点为，过点作两条斜率分别为 的直线交圆于两点，且 ，证明：直线恒过一个定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）或 ；（2）.
【解析】
分析：（1）先由直线和圆相切得到圆的方程，再由垂径定理列式，分直线斜率存在与不存在两种情况得到结果；（3）联立直线和圆，由韦达定理得到交点的坐标，由这两个点写出直线方程，进而得到直线过定点.
（2）由题意知， ，设直线，
与圆方程联立得： ，
消去得： ，
∴∴，
用换掉得到B点坐标
∴，
∴直线AB的方程为
整理得：
则直线AB恒过定点为.
点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
49．已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线：（）与椭圆交于不同两点，，且，若点满足，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）由已知求得，又由，由此能求出椭圆的方程；
（2）由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质，结合已知，即可求出的值．
【详解】
（1）由已知，得，又，∴，∴椭圆的方程为．
（2）由得 ①
∵直线与椭圆交于不同两点、，∴，得，
设，，∴ ．又由，得，解得．据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点，设的中点为，则，，当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．当时，，∴此时，线段中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
50．已知椭圆C：的长轴长为4，其上顶点到直线的距离等于．
求椭圆C的方程；
若直线l与椭圆C交于A，B两点，交x轴的负半轴于点E，交y轴于点点E、F都不在椭圆上，且，，，证明：直线l恒过定点，并求出该定点．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
由题意结合点到直线距离公式可得，则椭圆C的方程为；
设，，，由向量关系可得，B，将点的坐标代入椭圆方程，结合韦达定理可得，则直线l恒过定点，．
【详解】
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．