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- 2021-06-26 发布
2019-2020学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．设集合，，则
A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7}
【答案】B
【解析】试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.
【考点】集合的交集运算
【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解.
2．设集合，，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知求得集合S，再求出，从而求出，得选项.
【详解】
由得或，所以，所以，
又，所以，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题.
3．函数的定义域是（ ）
A．(2,) B．(-∞,2)∪(2,3） C．(2,3）∪(3,+∞) D．(3,+∞)
【答案】C
【解析】先分别求出每个式子满足的限定条件，再求交集即可
【详解】
由题知，解得的定义域是(2,3）∪(3,+∞)
故答案选：C
【点睛】
本题考查具体函数定义域的求法，是基础题
4．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的对称轴为 ，最大值为 ，最小值为，值域，函数的值域，故函数的值域是，故选C.
5．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】试题分析：因的定义域相同,且解析式也相同,故应选A．
【考点】函数相等的定义．
6．已知函数，且，则的值是( )
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
【解析】由题意分类讨论求解实数x的值即可.
【详解】
结合函数的解析式分类讨论：
当时，，满足题意，
当时，，满足题意，
综上可得，的值是2或.
本题选择D选项.
【点睛】
当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知，=，<0可依次判断大小关系.
【详解】
已知，=，<0,进而得到
故答案为：C
【点睛】
这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。
8．若函数满足，则的解析式为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】变形，即可直接求出函数的关系式．
【详解】
解：函数满足，
则，且
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识要点：利用恒等变换求函数的解析式．
9．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.
【详解】
当时，，函数有意义，可排除A；
当时，，函数无意义，可排除D；
又∵当时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.
10．若幂函数f（x）=（m2–3m–3）xm在（0，+∞）上为增函数，则实数m=
A．4 B．–1
C．2 D．–1或4
【答案】A
【解析】解不等式m2–3m–3=1且 m>0即得m的值.
【详解】
幂函数f（x）=（m2–3m–3）xm在（0，+∞）上为增函数，所以m2–3m–3=1，并且m>0，解得m=4.
【点睛】
(1) 本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题不要漏掉了m＞0.(3) 幂函数在是增函数，，幂函数在是减函数，且以两条坐标轴为渐近线.
11．若函数在定义域上是单调递增函数，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数在定义域上是单调递增函数，则有：，解得.
故选D.
点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是指数函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于一.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边不大于右边，这样才能满足在身上单调递增.
12．设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，又因为在上是增函数，所以当，任意的时，转化为在时恒成立，即在时恒成立，即可求解.
【详解】
由题意，得，
又因为在上是增函数，所以当时，有，
所以在时恒成立，即在时恒成立，
转化为在时恒成立，
所以，解得或或，
即实数的取值范围是，故选D.
【点睛】
本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据函数的性质，把不等式的恒成立问题转化为当，任意的时，转化为在时恒成立是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、填空题
13．已知函数（且），则的图象恒过的定点的坐标为______.
【答案】
【解析】由指数函数恒过定点的坐标，即可得出结果.
【详解】
因为指数函数恒过定点，
所以恒过定点.
故答案为
【点睛】
本题主要考查函数恒过定点的问题，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.
14．函数的单调递增区间是_________。
【答案】
【解析】设 ， 或
为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数 的单调递增区间是.
15．若方程有四个互不相等的实数根，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】作出的函数图象，根据图象得出的范围．
【详解】
作出的函数图象如图所示：
∵程有四个互不相等的实数根，
∴直线与的函数图象有4个交点，
当时，；时，，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了方程解的个数与函数图象的关系，利用数形结合思想是解题的关键，属于中档题．
16．函数的最小值为，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由题意得当时，；当时，
单调递减，
∵函数的最小值为，
∴，解得。
∴实数的取值范围是。答案：
三、解答题
17．已知全集，集合；
（1）若，求；
（2）若求实数的取值范围。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）表示出集合A，结合集合的基本运算进行求解即可．
（2）根据，分A为和不是建立不等式关系进行求解即可
【详解】
（1）若，则
又
（2）当时，，此时满足；
当时，则由，
易得。
综上可知，
【点睛】
本题考查了已知集合的交集，求解字母范围问题，及分类讨论的思想方法的运用.要注意得特殊性，在利用解题时，应对A是否是进行讨论.
18．计算：（1）．
（2）若，求的值．
【答案】（1）3；（2）1.
【解析】(1)根据指数与对数的运算法则化简即可得结果.(2)要求的值需求出a，b的值故可根据条件2a=5b=10结合指数式与对数式的转化公式：ab=N＜=＞b=logaN求出a，b然后代入再结合换底公式化简即可得解．
【详解】
(1)=lg5+++lg2 =+ + =1+2=3
(2)∵2a=5b=10
∴a=log210，b=log510
∴ =log102+log105=log1010=1
【点睛】
本题主要考查指数式与对数式的运算法则．解题的关键是熟练应用指数式与对数式的公式,属于基础题.
19．函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）计算，；
（2）当时，求的解析式．
【答案】(1)f(0)=0,f(-1)=-1；（2）
【解析】（1）根据已知条件，得到f(-x)=-f(x),进而得到f(0)，同时利用对称性得到f(-1)的值。
（2）令则则，结合性质得到结论。
【详解】
（1），
（2）令则则，又函数f(x)是奇函数
所以
【点睛】
本题主要是考查函数奇偶性和函数的解析式的运用。解决该试题的关键是利用奇函数的对称性得到x<0的解析式，进而分析得到特殊的函数值。属于基础题。
20．已知是二次函数，且满足
（1）求函数的解析式
（2）设，当时，求函数的最小值
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设，利用可取，利用恒等式可求，从而得到的解析式.
（2）由（1）可得，分和两种情况讨论即可.
【详解】
（1）设，∵，
∴，
即，所以，
解得，∴.
（2）由题意得，对称轴为直线，
①当即时，函数在单调递增；
②当即时，函数在单调递减，在单调递增，
，
综上：
【点睛】
求二次函数的解析式，应根据题设条件设出合理的解析式的形式（如一般式、双根式、顶点式），二次函数在给定范围的最值问题，应该根据开口方向和最值的类型选择合理的分类方法.
21．设函数在[0,1]上是减函数,
（1）求实数的范围；
（2）求=的单调递增区间和值域.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）根据复合函数的单调性的判定方法，即可求解实数的取值范围；
（2）令，可得在上单调递增，在单调递减，根据复合函数的单调性，可得函数单调递增区间和函数的值域.
【详解】
（1）显然a>0,u=3-ax在[0,1]上是减函数，要f(x)在[0,1]上是减函数,
必须且只需y=logu是增函数，∴a>1,
又由由u>0得a<3,∴1