2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高一下学期期中考试数学试题（解析版） 20页

‎2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知点，，则直线的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系求出倾斜角．‎ ‎【详解】‎ ‎， 直线的斜率：‎ 设直线倾斜角为，则 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题，是基础题．‎ ‎2．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积，再根据直观图的面积与原图的面积之比为，求得原图的面积．‎ ‎【详解】‎ 依题意，四边形是一个底角为，上底为，腰为的等腰梯形 过，分别做，‎ 则和为斜边长为的等腰直角三角形 ‎，又，‎ 梯形的面积：‎ 在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为：‎ 即： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系，可以还原图形求原图的面积，也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积．属于基础题．‎ ‎3．已知两条直线和互相平行，则等于（ ）‎ A．0或3或-1 B．0或3 C．3或-1 D．0或-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用两直线平行的充要条件构造方程进行求解．‎ ‎【详解】‎ 两条直线和互相平行 ‎，或和同时不存在 解得：或 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两条直线平行的应用，是基础题，解题时易错点是忽略其中一条直线斜率不存在的情况．‎ ‎4．在中，角，，所对的边的长分别为，，，若，则的形状是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 ‎【答案】C ‎【解析】利用正弦定理化简已知不等式，得到，利用余弦定理即可得出，可知为钝角，从而得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得：‎ 由余弦定理得：‎ ‎ 为钝角，则为钝角三角形 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理进行边角互化、余弦定理的应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解本题的关键．‎ ‎5．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为（ ）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长．‎ ‎【详解】‎ 设圆锥的底面半径为，母线长为 它的侧面展开图是圆心角为的扇形 ‎ 又圆锥的表面积为 ，解得：‎ 母线长为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．‎ ‎6．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C．20 D．40‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图得到该几何体为三棱柱，利用棱柱体积公式求得其体积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱柱 其底面是高为，底边长为的等腰三角形 则底面面积：，又棱柱的高 则体积为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱柱体积的计算，关键是通过三视图还原几何体，属于基础题．‎ ‎7．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，平方可求，进而可求得；然后利用正弦定理可求出，根据三角形中大边对大角的原则可求出.‎ ‎【详解】‎ 由，两边平方可得： ‎ ‎，即：‎ ‎ ‎ 又，，由正弦定理得：‎ 解得：‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角平方关系及正弦定理在求三角形中的应用，解题时要注意大边对大角的应用，避免出现增根.‎ ‎8．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 ‎【答案】C ‎【解析】在中，或；在中，与相交、平行或；在中，由面面平行的判定定理得；在中，与相交、平行或，从而得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知： ‎ 在中，若，，则或，故错误；‎ 在中，若，，则与相交、平行或，故错误； ‎ 在中，若，，，则由面面平行的判定定理得，故正确； ‎ 在中，若，，，则与相交、平行或，故错误．‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎9．如图，三棱锥中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，下列命题正确的是（ ）‎ A．‎ B．与是异面直线 C．平面 D．直线、、相交于同一点 ‎【答案】D ‎【解析】根据平行线分线段成比例的性质及平行直线的判定，可以排除；根据两平面相交有且仅有一条交线，可知、、相交于同一点，排除．‎ ‎【详解】‎ 依题意，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且 ‎，，，，则，‎ 故选项错误，选项错误；‎ 因为平面，平面，平面平面 则，且 直线、、相交于同一点 故选项正确，选项错误．‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间直线的位置关系，考查学生对于此部分公理的掌握，属于基础题．‎ ‎10．已知直线过点，且点与点到直线的距离相等，则直线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，分种情况讨论：①直线经过的中点；②直线与平行，分别求出直线的方程，综合即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，点与点到直线的距离相等，分种情况讨论：‎ ‎①直线经过的中点，此时中点的坐标为 直线经过点和，则直线的斜率 此时直线的方程为：，即：‎ ‎②直线与平行，此时直线与轴垂直 又直线过点，此时直线的方程为：‎ 综合可得：直线的方程为或 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的计算，关键是分析两点到直线距离相等的条件，属于基础题．‎ ‎11．底面边长为，侧棱长为2的正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面的中心）的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正三棱锥的特点，可确定球心必在与的中心的连线上，根据勾股定理构造关于半径的方程，求出正三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解．‎ ‎【详解】‎ 如图：‎ 正三棱锥的底面边长为，设的中心为 则：‎ 侧棱长 高 设正三棱锥的外接球的球心为，连接 由球的性质可知，球心必在上 则在中，，解得：‎ 外接球的表面积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查多面体外接球表面积的求解，关键是根据球的性质确定球心的大致位置，从而可利用勾股定理构造方程，是中档题．‎ ‎12．如图，将边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列四种说法：‎ ‎①是等边三角形；②；③；④直线和所成的角的大小为．其中所有正确的序号是（ ）‎ A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】①取中点，连接中点，则，利用面面垂直的性质定理可证得平面，利用线面垂直性质可得，利用勾股定理求得，可知①正确；对于②，因为，，利用线面垂直判定定理可知平面，根据线面垂直性质可知 ‎；对于③可以采用反证法进行否定；对于④，以为坐标原点建立空间坐标系，利用空间向量法求解向量的夹角．‎ ‎【详解】‎ 对于①，因为，取中点，连接，‎ 则，，‎ 平面平面，平面平面 平面 ‎ ‎ 在中，，故①正确；‎ 对于②，由①，知，，又 平面 又平面 ，故②正确；‎ 对于③，假设；又， 平面 平面 ‎ 又， 平面 这与空间中过一点有且只有一条直线与一个平面垂直矛盾，故③错误；‎ 对于④，以为坐标原点，为轴，，分别为轴，轴，建立坐标系 则，，，‎ 所以，‎ 设直线和所成的角为，则 ‎．故④正确．‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题借助正方形翻折考查了空间距离、空间角、空间位置关系等，涉及到线面垂直、面面垂直、异面直线成角等知识，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知点，，，在中，边上的中线所在的直线方程是______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求中线的方程，其实质是求直线方程：两点确定直线或是一点和直线的斜率k确定直线，本题可以求出B，C的中点，结合点A求解直线方程.‎ ‎【详解】‎ 设BC中点为D（x，y）‎ 已知B(－2,3)，C(0,1)，则D（-1，2） 因为 ‎ 所以BC边上中线所在的直线方程为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查中点公式和直线方程的求解，确定一条直线一般方法有：1.两点确定一条直线，其中可以利用直线的两点式方程；2.斜率和一点确定一条直线，重点是确定斜率.该题意在考查学生对基础知识的掌握程度.‎ ‎14．在中，，，，则的面积为______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知利用正弦定理可求的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理可求，，根据三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 由正弦定理可得：，解得：‎ ‎ ‎ ‎，可得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎15．若长方体中，，，直线与平面所成角的正弦值为______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用面积桥求出到的距离，根据长方体的特点可知到的距离即为到平面的距离，再根据线面角的定义可求得结果．‎ ‎【详解】‎ 设到的距离为，则 即： ‎ 又平面，可知到的距离即为到平面的距离 直线与平面所成角的正弦值为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面所成角，关键是能够确定到的距离即为到平面的距离，从而利用线面角的定义求解．‎ ‎16．在中，角、、对边分别为、、，若，且，则取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由及余弦定理可得，从而可得：‎ ‎，由的范围，利用余弦函数的图象和性质可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ 中，‎ 由余弦定理可得：‎ ‎，整理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可得： ，即：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，关键是能够熟练利用余弦定理构造等量关系．‎ 三、解答题 ‎17．如图所示，在四边形中，，，，，，将四边形绕旋转一周所形成的一个几何体．‎ ‎（Ⅰ）求这个几何体的表面积；‎ ‎（Ⅱ）求这个几何体的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】延长，过作交于；过作交于；过作交于；（Ⅰ）利用旋转体求解圆台圆锥的侧面积以及底面积即可；（Ⅱ）通过，利用公式直接求解即可．‎ ‎【详解】‎ 延长，过作交于；过作交于；过作交于 ‎（Ⅰ）令，，，，，‎ ‎ ‎ 在中， ， ，‎ 又 ‎ ‎（Ⅱ）几何体体积：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查旋转体的体积以及表面积的求法，关键是能够熟练应用表面积和体积公式，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎18．已知过点，斜率为的直线与轴和轴分别交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求，两点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若一条光线从点出发射向直线：，经反射后恰好过点，求这条光线从到经过的路程．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用点斜式求得直线的解析式，然后利用解析式求得点，的坐标即可；（Ⅱ）根据轴对称的性质，求得关于直线的对称点，从而可求得线段的长，即是这条光线从点到点经过的路程．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由已知有：，即：‎ 当时，；当时，‎ ‎，‎ ‎（Ⅱ）设关于的对称点为，设 依题意有：，解得： ‎ 这条光线从点到点经过的路程为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的点斜式方程、点关于直线对称点的求解，关键是能够明确反射问题实际为对称问题，利用对称点的求解方法来进行求解．‎ ‎19．如图，，是海面上位于东西方向相海距里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为24海里/小时．‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）该救援船到达点所需的时间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1小时.‎ ‎【解析】（Ⅰ）结合图形利用正弦定理转化求解的长；（Ⅱ）利用余弦定理求出，然后求解出该救援船到达点所需的时间．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意可知：在中，，，则 由正弦定理得：‎ 由 代入上式得：‎ ‎（Ⅱ）在中，，，‎ 由余弦定理得：‎ ‎ ‎ 即该救援船到达点所需的时间小时 ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形的实际应用，正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20．已知四棱锥中，底面是菱形，侧面平面，且，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若点在线段上，且，试问：在上是否存在一点，使面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在，当时，使面.‎ ‎【解析】（Ⅰ）在中，由勾股定理可证，利用线面垂直的判定可得平面，利用线面垂直的性质可得，又结合在菱形中，‎ ‎，利用线面垂直的判断定理可证得平面；（Ⅱ）在上取一点，时，则在中，，利用线面平行的判断定理可证平面，由，，可证平面，利用面面平行的判定定理可证平面平面，利用线面平行的性质即可证明平面．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）在中，，， ‎ 又侧面平面，侧面平面，平面 平面 平面 ‎ 在菱形中，，又 平面 ‎（Ⅱ）存在，当时，使面 理由如下：‎ 在上取一点，使 则在中，‎ ‎，又平面，平面 平面 在菱形中， ‎ 同理，平面 平面，平面，‎ 平面平面 平面 平面 平面 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了勾股定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，线面平行的判断定理，面面平行的判定定理，线面平行的性质定理的综合应用，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．‎ ‎21．在中，角，，所对的边分别为，，，已知满足.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求得，结合范围，可求的值；（Ⅱ）根据正弦定理将表示成的形式，根据三角形的面积公式可求，结合范围，利用正弦函数的图象和性质可求得面积的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）‎ 由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理得： ‎ 同理：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的面积的取值范围为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎22．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）为线段上一点，为线段上一点，且，求二面角的大小的正切值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明，结合，证明平面，然后证明平面平面；（Ⅱ）过作交于点，过作交于点；证明平面，推出，结合，推出 平面，即可证明，就是二面角的平面角；通过求解三角形的相关知识即可求解二面角大小的正切值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）平行四边形中， ，即 又， 平面 平面 平面平面 ‎（Ⅱ）在中，过作交于点，过作交于点 由（Ⅰ）知平面平面 平面平面， 平面 ‎ 平面，平面 ‎ 又， 平面 平面 ‎ 就是二面角的平面角 在中，，，‎ 在中，，即：‎ 中，，且，‎ 在中，.‎ 在中，‎ 二面角大小的正切值 ‎【点睛】‎ 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力；准确找到二面角的平面角是解决本题的关键.‎