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- 2021-06-26 发布
专题06 平面向量(讲)
1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
2．【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=( )
A．−3 B．−2
C．2 D．3
3．【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．
4．【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
一、考向分析：
平面向量
向量的数量积
向量的线性运算
向量与解析几何
向量与三角函数
共线向量
平面向量基本定理
二、考向讲解
考查内容
解 题 技 巧
向量的线
性运算
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解。
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解。
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置。
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式。
(3)比较，观察可知所求。
3、平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义。向量加法和减法均适合三角形法则。
(2)求已知向量的和。一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则。
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值。
向量的
数量积
1、数量积公式a·b＝|a||b|cosθ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，较为简捷、明了。
2．平面向量夹角的求法
(1)若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ＝(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。
(2)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现。
3．平面向量的模的解题方法
(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝。
(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再开方求解。
向量与解
析几何
向量与平面几何综合问题的解法
1．坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决。
2．基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解。
平面向量
基本定理
用平面向量基本定理解决问题
1．实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。
2．一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。
3．要熟练运用平面几何的一些性质定理。
共线向量
1．两平面向量共线的充要条件有两种形式
①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(b≠0)⇔a＝λb。
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数。当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解。
考查平面向量基本定理：
【例1】在中，点，满足，．若，则 ； ．
考查共线向量
【例1】设，是非零向量，“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考查线性运算：
【例1】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为 ( )
A. B. C. D.
考查数量积：
【例1】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则( )
A． B． C． D．
【例2】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于( )
A．13 B．15 C．19 D．21
考查向量与三角函数：
【例1】设向量，则的值为
【例2】若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
考查向量与解析几何：
【例1】【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若，则实数m=( )
A． B． C． D．
【例2】已知M(x0，y0)是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是( )
(A)(-，) (B)(-， (C)(，) (D)(，)
考查向量与解三角形：
【例1】的内角，，所对的边分别为，，．向量，与平行．
(I)求； (II)若，求的面积．
平面向量的数量积的解题方法
例1 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
【例2】若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为 ( )
A.－1 B．1 C. D．2
小结： (1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：
①直接利用数量积的定义；
②建立坐标系，通过坐标运算求解．
(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．