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- 2021-06-26 发布
2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}
2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）
A． B． C．﹣ D．2
3．（5分）该试题已被管理员删除
4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：
x
6
5
10
12
y
6
5
3
2
则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（ ）
A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7
5．（5分）已知数列{an}满足：a1=1，an＞0，an+12﹣an2=1（n∈N*），那么使an＜5成立的n的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．24 D．25
6．（5分）已知函数f （x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f （x）的一个单调递增区间是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
7．（5分）若0＜m＜1，则（ ）
A．logm（1+m）＞logm（1﹣m） B．logm（1+m）＞0
C．1﹣m＞（1+m）2 D．
8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）
A． B．4 C．3 D．
9．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5] D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）
10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ）
A． B．48π C．24π D．16π
11．（5分）设数列{an}前n项和为Sn，已知，则S2018等于（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为 ．
14．（5分）数列{an}满足：若log2an+1=1+log2an，a3=10，则a8= ．
15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 ．
16．（5分）函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）设函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求角C的值．
18．（12分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．
（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；
（2）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．
19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．
（1）证明：MN∥平面 BCE；
（2）求三棱锥B﹣EMN的体积．
20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
（Ⅰ）求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b，（k∈R，b∈R）．
（1）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（2）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k，b应满足的条件．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．
（1）求C的普通方程和l的倾斜角；
（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．
23．已知函数f（x）=|x+1|．
（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；
（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．
2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}
【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}
∴A∩B={0，1}
故选C
2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）
A． B． C．﹣ D．2
【解答】解：=
=+i
由=﹣得b=﹣．
故选C．
3．（5分）该试题已被管理员删除
4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：
x
6
5
10
12
y
6
5
3
2
则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（ ）
A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7
【解答】解：根据表中数据，得；
=（6+5+10+12）=，
=（6+5+3+2）=4，
且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，
所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，
即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．
故选：B．
5．（5分）已知数列{an}满足：a1=1，an＞0，an+12﹣an2=1（n∈N*），那么使an＜5成立的n的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．24 D．25
【解答】解：由题意an+12﹣an2=1，
∴an2为首项为1，公差为1的等差数列，
∴an2=1+（n﹣1）×1=n，又an＞0，则an=，
由an＜5得＜5，
∴n＜25．
那么使an＜5成立的n的最大值为24．
故选C．
6．（5分）已知函数f （x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f （x）的一个单调递增区间是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【解答】解：由图象可知：T=﹣=，
∴T==π，
∴ω=2，
又×2+φ=π（或×2+φ=），
∴φ=﹣，
∴f （x）=2sin（2x﹣），
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，得其单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]．
当k=1时，单调递增区间为：[，]．
显然，（，）⊆[，]．
故选D．
7．（5分）若0＜m＜1，则（ ）
A．logm（1+m）＞logm（1﹣m） B．logm（1+m）＞0
C．1﹣m＞（1+m）2 D．
【解答】解：①∵0＜m＜1，∴函数y=logmx是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m＞1﹣m＞0，∴logm（1+m）＜logm（1﹣m）；∴A不正确；
②∵0＜m＜1，∴1+m＞1，∴logm（1+m）＜0；∴B不正确；
③∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，1+m＞1，∴1﹣m＞（1+m）2；∴C不正确；
④∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，∴函数y=（1﹣m）x是定义域R上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D正确；
故选：D．
8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）
A． B．4 C．3 D．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
截面是等腰梯形FHDE，
∵正方体的棱长为2，
∴FH=，DE=，梯形的高为．
∴该截面的面积为S=．
故选：A．
9．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5] D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）
【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+2x﹣a，
则f′（﹣1）f′（1）＜0，
即（1﹣a）（5﹣a）＜0，
解得1＜a＜5，
另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，
当a=5时，函数f（x）=x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，
故选：B．
10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ）
A． B．48π C．24π D．16π
【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，
上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，
所以AE=．
AO=．
所求球的体积为：==32．
故选A．
11．（5分）设数列{an}前n项和为Sn，已知，则S2018等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵a1=
∴a2=2×﹣1=，
a3=2×﹣1=，
a4=2×=
a5=2×=，
∴数列{an}是以4为周期的周期数列，
∴a1+a2+a3+a4=+++=2，
∴S2018=504×（a1+a2+a3+a4）+a1+a2=1008+=，
故选：B．
12．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由x2=4y，对其求导得．
设A，B，则直线PA，PB的斜率分别为kPA=，kPB=．
由点斜式得PA，PB的方程分别为：y﹣=．=（x﹣x2），
联立解得P，
因为P在l上，所以=﹣1，
所以kPA•kPB==﹣1，所以PA⊥PB．反之也成立．
所以“点P在l上”是“PA⊥PB”的充要条件．
故选：C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为 ﹣1 ．
【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，
经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，
将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，
即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（5分）数列{an}满足：若log2an+1=1+log2an，a3=10，则a8= 320 ．
【解答】解：∵log2an+1=1+log2an
∴an+1=2an
∴数列{an}是2为公比的等比数列
∴a8=a325=320
故答案为：320
15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈
R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 4 ．
【解答】解：由题 O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，
可得＜|m|＜．
再根据题意可得O1A⊥AO2，
∴m2=5+20=25，
∴m=±5，
∴利用，
解得：AB=4．
故答案为：4．
16．（5分）函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （，） ．
【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为
函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，
作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，
由题意，C（0，﹣），B（1，0）；
故kBC =，
当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；
设切点A的坐标为（x1，lnx1），
则=；
解得，x1=；
故kAC =；
结合图象可得，
实数m的取值范围是（，）．
故答案为：（，）．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）设函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求角C的值．
【解答】解：（1）因为=，
所以f（x）的最小正周期为2π．
因为x∈R，所以，
所以f（x）的值域为[﹣1，1]．
（2）由（1）得，
所以．
因为0＜A＜π，所以，
所以，
因为，
由正弦定理
可得，
所以sinB=1，
因为0＜B＜π，
所以，
故得：．
18．（12分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．
（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；
（2）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．
【解答】解：（1）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20．
估计所有使用者的平均年龄为：0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37（岁）
（2）由题意可知抽取的6人中，年龄在[35，45）范围内的人数为4，记为a，b，c，d；
年龄在[45，55]范围内的人数为2，记为m，n．
从这6人中选取2人，结果共有15种：
（ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc），
（bd），（bm），（bn），（cd），（cm），（cn），
（dm），（dn），（mn）．
设“这2人在不同年龄组“为事件A．
则事件A所包含的基本事件有8种，故，
所以这2人在不同年龄组的概率为．
19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．
（1）证明：MN∥平面 BCE；
（2）求三棱锥B﹣EMN的体积．
【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．
由题意可得MP∥AD∥BC，
∵MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴MP∥平面BCE，
同理可证NP∥平面BCE．
∵MP∩NP=P，
∴平面MNP∥平面BCE，
又MN⊂平面MNP，
∴MN∥平面BCE；
（2）解：由（1）可得MP∥DA，且MP=DA，
∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，且DA⊥AB，
∴DA⊥平面ABE，
∴M到平面ENB的距离为，
∵N为AB的中点，
∴，
∴==．
20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2
，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
（Ⅰ）求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．
【解答】解：（I）由题意，∵|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
∴c=1，a=2，
∴b=，
∴椭圆的标准方程为+=1 …（4分）
（II）设P（x0，y0），则
∵A（﹣2，0），F1（﹣1，0），
∴•=（﹣1﹣x0）（﹣2﹣x0）+y02=x2+3x+5，
由椭圆方程得﹣2≤x≤2，二次函数开口向上，对称轴x=﹣6＜﹣2
当x=﹣2时，取最小值0，
当x=2时，取最大值12．
∴•的取值范围是[0，12]…（12分）
21．（12分）已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b，（k∈R，b∈R）．
（1）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（2）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k，b应满足的条件．
【解答】解：（1）因为f'（x）=ex，设切点为（t，et），所以k=et，b=et（1﹣t），
所以直线l的方程为：y=etx+et（1﹣t），
令函数F（x）=f（x）﹣kx﹣b，
即F（x）=ex﹣etx﹣et（1﹣t），F'（x）=ex﹣et，
所以F（x）在（﹣∞，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增，
所以F（x）min=f（t）=0，
故F（x）=f（x）﹣kx﹣b≥0，
即f（x）≥kx+b对任意x∈R成立．
（2）令H（x）=f（x）﹣kx﹣b=ex﹣kx﹣b，x∈[0，+∞）H'（x）=ex﹣k，x∈[0，+∞），
①当k≤1时，H'（x）≥0，则H（x）在[0，+∞）单调递增，
所以H（x）min=H（0）=1﹣b≥0，b≤1，
即，符合题意．
②当k＞1时，H（x）在[0，lnk]上单调递减，在[lnk，+∞）单调递增，
所以H（x）min=H（lnk）=k﹣klnk﹣b≥0，
即b≤k（1﹣lnk），
综上所述：满足题意的条件是或．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．
（1）求C的普通方程和l的倾斜角；
（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．
【解答】解：（1）由消去参数α，得
即C的普通方程为
由，得ρsinθ﹣ρcosθ①
将代入①得y=x+2
所以直线l的斜率角为．
（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）
即（t为参数），
代入并化简得
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．
则，所以t1＜0，t2＜0
所以．
23．已知函数f（x）=|x+1|．
（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；
（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．
【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；
②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；
③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．
综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；
（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，
则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．
∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|
=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|
=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，
故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．