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- 2021-06-26 发布
课时分层训练(十五)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．下列命题中正确的是________．(填序号)
①y＝x＋的最小值是2；
②y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4；
③y＝sin2x＋的最小值是4；
④y＝2－3x－(x＜0)的最小值是2－4.
② [①不正确，如取x＝－1，则y＝－2.
②正确，因为y＝2－3x－＝2－≤2－2＝2－4.
当且仅当3x＝，即x＝时等号成立．
③不正确，令sin2x＝t，则0＜t≤1，所以g(t)＝t＋，显然g(t)在(0,1]上单调递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5.
④不正确，∵x＜0，∴－x＞0，
∴y＝2－3x－＝2＋≥2＋4.
当且仅当－3x＝－，即x＝－时等号成立．]
2．关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是________．
[依题意可得x1＋x2＝4a，x1·x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，故x1＋x2＋的最小值为.]
3．已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________. 【导学号：62172086】
16 [因为a＞0，b＞0，所以由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.]
4．(2017·盐城模拟)若x>0，y>0，且2x＋y＝2，则＋的最小值是________．
＋ [由2x＋y＝2得x＋＝1.
∴＋＝＝1＋＋＋
＝＋＋≥＋2＝＋.]
5．要制作一个容积为4 m3 ，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．
160元 [由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，
所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m．又设总造价是y元，则
y＝20×4＋10×≥80＋20＝160.
当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号．]
6．已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝y，若＋(m＞0)的最小值为3，则m的值为________．
4 [由2x－3＝y得x＋y＝3，则
＋＝(x＋y)·
＝≥(1＋m＋2)，
∴(1＋m＋2)＝3，即(＋1)2＝9，解得m＝4.]
7．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．
2 [由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.]
8．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________.
【导学号：62172087】
3 [由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.]
9．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值为________．
2 [由题意可得：点A的坐标为(2,1)，所以2m＋n＝1，所以4m＋2n＝22m＋2n≥2＝2＝2.]
10．(2017·苏州期末)已知ab＝，a，b∈(0,1)，则＋的最小值为________. 【导学号：62172088】
4＋ [∵ab＝，∴b＝.
∴＋＝＋＝＋
＝＋＝＋＋2
＝＋＋2
＝＋2
＝＋2
≥(3＋2)＋2＝4＋.
当且仅当a＝时，取“＝”．]
二、解答题
11．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
∴＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵00，
∴y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
12．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·扬州期末)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________．
3 [由2logab＋3logba＝7得logab＝或logab＝3(舍去)，
∴a＝b2，
∴a＋＝b2＋＝(b2－1)＋＋1≥2＋1＝3.
当且仅当b2－1＝，即b＝，a＝2时等号成立．]
2．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
[因为xy＝，所以(2y)x＝.又x>0，y>0.故xy＋(2y)x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．]
3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N＋)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N＋)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
[解] (1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|)
＝
(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值)．
当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，
所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，
所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．
4．(2017·盐城模拟)已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且
R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
[解] (1)当040，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.
所以，W＝
(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，W取最大值为5 760.
综合①②知，当产量为32万只时，W取最大值为6 104美元．