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- 2021-06-26 发布
2018届第二学期期末数学理科试卷
试题总分:150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．
1、设 i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )
A、2 B、-2 C、 D、
2、下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A、若a＞b，则ac2＞bc2 B、若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣d
C、若a＞|b|，则a2＞b2 D、若a＞b，则＜
3、已知：，：，则是成立的 ( )
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充要条件 D、既不充分又不必要条件
4、已知函数，则函数f(x)在点(0,f(0))处切线方程为 （ ）
A、x-y+1=0 B、x+y-1=0
C、 D、
5、某种商品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中的m的值为（ ）
A、45 B、50 C、55 D、60
6、在今年针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名记者进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有（ ）
A、180种 B、220种 C、260种 D、320种
7、用数学归纳法证明 ，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增加（ ）
A、k2+1 B、（k+1）2
C、 D、（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2
8、设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，则P（ξ＜2μ+1）=（ ）
A、0.4 B、0.5 C、0.6 D、0.7
9、已知双曲线的一条渐近线方程是， 它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y= 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）
A、 B、
C、 D、
11、双曲线 的离心率为2，则 的最小值为（ ）
A、 B、 C、2 D、1
12、已知函数是R上的可导函数，当时，有,则函数的零点个数是( )
A、0 B、1 C、2 D、3
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13、（x2﹣ ）6的二项展开式中x2的系数为________（用数字表示）．
14、若 （x2+ ）dx= +ln3，则a的值是________．
15、如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 =1（a＞b＞0）的右焦点，直线 与椭圆交于B ， C两点，且∠BFC=90° ,则该椭圆的离心率是________.
16、在极坐标系中，曲线C1的方程为ρcos（θ+）=， 曲线C2的方程为ρ=2cos（π﹣
θ），若点P在曲线C1上运动，过点P作直线l与曲线C2相切于点M，则|PM|的最小值为________
三、解答题：本大题共6小题；共70分．
17．（本题满分10分）
已知a，b，c都是正实数，求证（1） （2）≥a+b+c
18、（本题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在 上的值域．
19、（本题满分12分）
如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望.
20（本题满分12分）
某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（Ⅰ）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ=1的概率
（Ⅱ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
甲班（A方式）
乙班（B方式）
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
附：K2=
21、 （本题满分12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到其焦点的距离为4．
（1）求p的值；（2）过点Q（1，0）作两条直线l1 ， l2与抛物线分别交于点A、B和C、D，点M，N分别是线段AB和CD的中点，设直线l1 ， l2的斜率分别为k1 ， k2 ， 若k1+k2=3，求证：直线MN过定点．
22、 （本题满分12分）
已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间上至少存在一点x0 ， 使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．
2018届第二学期期末数学理科试卷答案
1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.D 8.D 9.C 10.C 11.A 12.B
13. 15 14. 3 15. 16.
17.证明：（1）要证
即证：a2≥2ab﹣b2
即证：（a﹣b）2≥0
显然成立，故得证；
（2）∵a，b，c都是正实数，
∴，,
相加，化简得≥a+b+c．
18.解：（I）
=
=
= ．
函数f（x）的最小正周期是 ；
（II）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴f（x）的值域为
19解 (1)依题意及频率分布直方图知，
0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)．
因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.
20解：（1）根据频率分步直方图可得成绩优秀的人数是4，
P（ξ=1）=，
（Ⅱ）由频率分步直方图知，甲班成绩优秀和成绩不优秀的人数是12，38，
乙班成绩优秀和成绩不优秀的人数是4，46
根据列联表可知=4.762，
由于4.762＞3.841，
∴有95%的把握说成绩优秀与教学方式有关．
21. 解：（ 1）抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=﹣，
由抛物线的定义可得，3+=4，解得p=2；
（2）证明：由题意知，k1+k2=3，
不妨设AB的斜率k1=k，则CD的斜率k2=3﹣k，
所以AB的直线方程是：y=k（x﹣1），CD的直线方程是y=（3﹣k）（x﹣1），
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由 ，得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
则x1+x2=，x1x2
=1，
所以y1+y2=k（x1﹣1）+k（x2﹣1）=k（2+）﹣2k=，
因为M是AB的中点，所以点M（1+，），
同理可得，点N（1+，），
所以直线MN的方程是：y﹣=（x﹣1﹣），
化简得，y=（k﹣k2）（x﹣1）+，令x=1，得y=，
所以直线MN过定点（1，）．
22.（I）因为，
当a=1，，
令f'（x）=0，得x=1，
又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x
（0，1）
1
（1，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以x=1时，f（x）的极小值为1．
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（II）因为，且a≠0，
令f'（x）=0，得到，
若在区间上存在一点x0 ， 使得f（x0）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间上的最小值小于0即可．
（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间上单调递减，
故f（x）在区间上的最小值为，
由，得，即
（2）当a＞0时，
①若，则f'（x）≤0对x∈成立，
所以f（x）在区间上单调递减，
所以，f（x）在区间上的最小值为，
显然，f（x）在区间上的最小值小于0不成立
②若，即1＞时，则有
x
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以f（x）在区间上的最小值为，
由，
得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；
当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在递增，
可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．
综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．