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- 2021-06-26 发布
定远重点中学2017-2018学年第二学期期中考试
高二（理科）数学试题
注意事项：
1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。
第I卷（选择题60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。)
1.已知 f(x)=,则的值是（ ）
A.- B.2 C. D.-2
2.可导函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的（ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.必要非充分条件 D.充要条件
3.若复数是实数，则x的值为( )
A. B.3 C. D.
4.设f（x）=x•cosx﹣sinx，则（ ）
A.f（﹣3）+f（2）＞0 B.f（﹣3）+f（2）＜0
C.f（﹣3）+f（2）=0 D.f（﹣3）﹣f（2）＜0
5.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（ ）
A.2+ i B.2﹣i C.﹣1+ i D.﹣1﹣i
7.如图，由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知a为实数,若复数 为纯虚数,则 的值为( )
A.1 B.0 C. D.
9.曲线在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D.
10.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）
A. B. C. D.
11.设为定义在上的函数的导函数，且恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
12.函数的示意图是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题90分）
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.计算： （ ﹣x）dx= ．
14.若 , ，且为纯虚数，则实数的值为 .
15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。
16.记当时，观察下列等式：
，
，
，
，
，
可以推测，
三、解答题(共6小题 ,共70分)
17. (10分) 已知复数x2+x﹣2+（x2﹣3x+2）i（x∈R）是4﹣20i的共轭复数，求x的值．
18. (12分) 已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若曲线与有三个不同的交点，求实数的取值范围.
19. (12分) 已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
20. (12分) 已知数列，，，，为该数列的前项和．
（1）计算；
（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
21. (12分) 设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．
22. (12分) 某制药厂生产某种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为元，推销费用为元，预计当每包药品销售价为元时，一年的市场销售量为万包，若从民生考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的，但为了鼓励药品研发，每包药品的售价又不得低于生产成本的
(1) 写出该药品一年的利润 (万元)与每包售价的函数关系式，并指出其定义域；
(2) 当每包药品售价为多少元时，年利润最大，最大值为多少？
参考答案
1.A
【解析】∵f(x)= ， ∴====﹣
故选A
2.C
【解析】对于可导函数f（x）=x3 ， f'（x）=3x2 ， f'（0）=0， 不能推出f（x）在x=0取极值，
故导数为0时不一定取到极值，
而对于任意的函数，当可导函数在某点处取到极值时，
此点处的导数一定为0．
故应选 C．
3.A
【解析】 ， 因为复数是实数，所以。选A.
4.A
【解析】∵f（x）=x•cosx﹣sinx，函数是奇函数． ∴f'（x）=﹣xsinx，x∈（﹣π，π），
f′（x）＜0，函数是减函数．如图：
∴f（﹣3）+f（2）＞0．
故选：A．
5.D
【解析】导函数 ， 则函数单调递增，导函数 ， 则函数单调递减，而不等式等价于或 ， 结合图象可知不等式的解集为.选D。
6.A
【解析】由z（1+i）=1+3i，得 ， 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
7.D
【解析】由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是
8.C
【解析】复数 为纯虚数，可得a=1，
，
故答案为：C.
9.B
【解析】对函数求导可得， 根据导数的几何意义， ，即
==()·)=+5≥2+5=4+5=9，当且仅当即时，取等号.所以的最小值是9.
故选B.
10.B
【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，
且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为，
故第1行的第一个数为： ，
第2行的第一个数为： ，
第3行的第一个数为： ，
…
第行的第一个数为： (n+1)×2n−2，
表中最后一行仅有一个数，则这个数是.
11.A
【解析】，即，设，则
，当时， 恒成立，即在上单调递增， ， ，故选A.
12.C
【解析】，
令y′=0得x=−，
∴当x<−时,y′<0,当x>−时,y′>0，
∴y= (2x−1)在(−∞,− )上单调递减,在(−,+∞)上单调递增，
当x=0时,y= (0−1)=−1,∴函数图象与y轴交于点(0,−1)；
令y= (2x−1)=0得x=,∴f(x)只有1个零点x=，
当x<时,y= (2x−1)<0,当x>时,y= (2x−1)>0，
综上，函数图象为C.
故选C.
13.
【解析】由定积分的几何意义知 dx是由y= 与直线x=0，x=1所围成的图形的面积， 即是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的 ，
故 dx= ，
（﹣x）dx=﹣ = ，
∴ （ ﹣x）dx= ．
故答案为： ．
14.
【解析】为纯虚数
15.1和3
【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3，
故甲1和3
16.
【解析】通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；列出方程求出A，B的值，进一步得到A-B．
解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；
所以A=，A+++B=1
解得B=-，
所以A-B=+=，
故答案为：
17.解：∵复数4﹣20i的共轭复数为4+20i，
∴x2+x﹣2+（x2
﹣3x+2）i=4+20i，
根据复数相等的定义，得，
解得x=﹣3．
18.(Ⅰ) 单调递增区间为，单调递减区间为；(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ) 2分
令，解得或. 4分
当时， ；当时，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为6分
（Ⅱ）令，即
∴
设，即考察函数与何时有三个公共点 8分
令，解得或.
当时，
当时，
∴在单调递增，在单调递减 9分
10分
根据图象可得. 12分
19.(1) 当时，的单调递增区间为，无减区间，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)2.
【解析】
(1)，函数的定义域为.
当时，，则在上单调递增，
当时，令，则或(舍负)，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
∴当时，的单调递增区间为，无减区间，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)解法一：由得，
∵，
∴原命题等价于在上恒成立，
令，
则，
令，则在上单调递增，
由，，
∴存在唯一，使，.
∴当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
∴时，，
∴，
又，则，
由，所以.
故整数的最小值为2.
解法二：得，
，
令，
，
①时，，在上单调递减，
∵，∴该情况不成立.
②时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴，
恒成立，
即.
令，显然为单调递减函数.
由，且，，
∴当时，恒有成立，
故整数的最小值为2.
综合①②可得，整数的最小值为2.
20.(1)
(2) ，证明见解析.
【解析】
（1）．
（2）猜想，
用数学归纳法证明如下：
①当时，，猜想成立；
② 假设当时，猜想成立，即，
当时，
故当时，猜想成立．
由①②可知，对于任意的，都成立．
21.
（1）解：∵f′（x）=2x+2 设f（x）=x2+2x+c，
根据f（x）=0有两等根，得△=4﹣4c=0解得c=1，即f（x）=x2+2x+1；
（2）解：S= = ．
22.（1）（2）
【解析】
(1)由题意，
(2)
① 当时， ， 在上恒成立，即为减函数，所以， 万元
②当时， ，当时，
当时， ，即在上为增函数，在上为减函数，所以， 万元