2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第5章 第3节 等比数列及其前n项和 6页

‎2010~2014年高考真题备选题库 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和 ‎1. （2014江苏，5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋‎2a4，则a6的值是________．‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，q>0，则a8＝a6＋‎2a4即为a4q4＝a4q2＋‎2a4，解得q2＝2(负值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4.‎ 答案：4‎ ‎2. （2014重庆，5分）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 解析：选D　由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.‎ 答案：D ‎3. （2014广东，5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a‎10a11＋a‎9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.‎ 解析：由等比数列的性质可知a‎10a11＋a‎9a12＝2e5⇒a‎1a20＝e5，于是a‎1a2…a20＝(e5)10＝e50，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a‎1a2…a20)＝ln e50＝50.‎ 答案：50‎ ‎4. （2014新课标全国Ⅱ，12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：＋＋…＋<.‎ 证明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.‎ 又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．‎ 所以an＋＝，‎ 因此{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知＝.‎ 因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，‎ 所以≤.‎ 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋ ‎＝<.‎ 所以＋＋…＋<.‎ ‎5．（2013新课标全国Ⅱ，5分）等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3 ＝ a2 ＋‎10a1 ，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ ‎ 解析：本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力．由题知q≠1，则S3＝＝a1q＋‎10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝，故选C. ‎ 答案：C ‎6．（2013北京，5分）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.‎ 解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想以及考生的运算求解能力．‎ q＝＝2，又a2＋a4＝20，故a1q＋a1q3＝20，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋1－2.‎ 答案：2　2n＋1－2‎ ‎7.（2013湖北，12分）已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a‎1a2a3＝125.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．‎ 解：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式、不等式等基础知识和基本方法，考查方程思想、分类与整合思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．‎ ‎(1)设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得解得或 故an＝·3n－1，或an＝－5·(－1)n－1.‎ ‎(2)若an＝·3n－1，则＝·n－1，故是首项为，公比为的等比数列，‎ 从而＝＝·<<1.‎ 若an＝－5·(－1)n－1，则＝－(－1)n－1，故是首项为－，公比为－1的等比数列，‎ 从而＝故<1.‎ 综上，对任何正整数m，总有<1.‎ 故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．‎ ‎8．（2013辽宁，5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.‎ 解析：本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式，意在考查考生对等比数列公式的运用，以及等比数列性质的应用情况．由题意得，a1＋a3＝5，a‎1a3＝4，由数列是递增数列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比数列的求和公式得S6＝63.‎ 答案：63‎ ‎9．（2013湖北，13分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．‎ 解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式，也考查了分类讨论思想．‎ ‎(1)设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.由题意得 即 解得故数列{an}的通项公式为an＝3(－2)n－1.‎ ‎(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.‎ 若存在n，使得Sn≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.‎ 当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；‎ 当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，则n≥11.‎ 综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．‎ ‎10．（2013陕西，12分）设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．‎ 解：本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法．‎ ‎(1)设{an}的前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②‎ ‎①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，‎ ‎∴Sn＝，∴Sn＝ ‎(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，‎ ‎(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，‎ a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，‎ aq2k＋‎2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，‎ ‎∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.‎ ‎∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，‎ ‎∴q＝1，这与已知矛盾．‎ ‎∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．‎ ‎11．（2013江西，5分）等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)‎ A．－24　　　　　　　　　　　　　　B．0‎ C．12 D．24‎ 解析：选A　本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质，意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况．由等比数列的前三项为x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x＝－3，公比q＝＝2，所以第四项为(6x＋6)×q＝－24.‎ ‎12．（2013江苏，5分）在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋a n>a‎1a2…an的最大正整数n的值为________．‎ 解析：本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力．‎ 设等比数列{an}的公比为q(q>0)．由a5＝，a6＋a7＝3，可得(q＋q2)＝3，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，所以an＝2n－6，数列{an}的前n项和Sn＝2n－5－2－5，所以a‎1a2…an＝(a1an)＝2，由a1＋a2＋…＋an>a‎1a2…an可得2n－5－2－5>2，由2n－5>2，可求得n的最大值为12，而当n＝13时，28－2－5>213不成立，所以n的最大值为12.‎ 答案：12‎ ‎13．（2012浙江，4分）设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝‎3a2＋2，S4＝‎3a4＋2，则q＝____________.‎ 解析：∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝‎3a2(q2－1)，‎ 解得q＝－1(舍去)或q＝.‎ 答案： ‎14．（2012新课标全国，5分）已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a‎5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)‎ A．7 B．5‎ C．－5 D．－7‎ 解析：设数列{an}的公比为q，由 得或所以或 所以或所以a1＋a10＝－7.‎ 答案：D ‎15．(2011新课标全国，12分)等比数列{an}的各项均为正数，且‎2a1＋‎3a2＝1，a＝‎9a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．‎ 解：(1)设数列{an}的公比为q.由a＝‎9a2a6得a＝‎9a，所以q2＝.由条件可知q＞0，故q＝.‎ 由‎2a1＋‎3a2＝1，得‎2a1＋‎3a1q＝1，得a1＝.‎ 故数列{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an＝‎ ‎－(1＋2＋…＋n)＝－.‎ 故＝－＝－2(－)．‎ ＋＋…＋＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－.‎ 所以数列{}的前n项和为－.‎