2018年达利教育卓越奖初中学科竞赛高二数学参考答案 6页

‎2018年高中学科竞赛 高二数学试题 ‎（试卷总分100分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（每小题5分，共30分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 B D C B D A 二、填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎7．4； 8．； 9． ； 10．； 11．； 12．.‎ 三、解答题（本大题共3小题，共40分）‎ ‎13．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）条件②，可做为的充分条件. ……1分 证明如下：‎ 平面，，平面， ……2分 ‎∵平面，.‎ 若条件②成立，即，‎ ‎∵，平面， ……3分又平面，． …..4分 ‎（Ⅱ）由已知，得是菱形，.设，为的中点，‎ 则平面，∴、、交于同一点且两两垂直. …5分 以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 5‎ 设，，其中，‎ 则，，，，，‎ ‎，， ……7分 设是平面的一个法向量，由得令，则，，‎ ‎， 又是平面的一个法向量， ……9分 ‎，……10分 令，则，为锐角，，则，，因为函数在上单调递减，，所以，又， ，‎ 即平面与平面所成角的取值范围为． ………………12‎ 5‎ ‎14.（本小题满分14分）‎ 解法1：（1）①若直线∥轴，则点为．----1分 ‎ ‎②设直线，并设点的坐标分别是，‎ 由消去，得 ， （*）‎ 由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，‎ 所以．由及方程（*），得，‎ ‎，‎ 即消去，并整理得，（．综上所述，点的轨迹方程为（．---7分 ‎（2）①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，‎ 所以，，所以，． ----9分 ‎②由方程（*），得所以，，‎ ‎，‎ 所以． 因为，所以，所以．‎ 综上所述，．--14分 5‎ 解法2：（1）①若直线∥轴，则点为． --1分 ‎②设直线，‎ 并设点的坐标分别是，‎ 由消去，得 ， （*）‎ 由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以． ‎ 由及方程（*），得，‎ ‎，即 由于（否则，直线与椭圆无公共点），消去，并整理得，（．综上所述，点的轨迹方程为（．--7分 ‎ ‎（2）①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，‎ 所以，，所以，． --9分 ‎②由方程（*），得 所以，，‎ ‎，‎ 所以．因为，所以，所以．综上所述，．--14分 ‎ ‎ 5‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ ‎【解析】（1）设直线与相切于点，依题意得，解得，所以，经检验：符合题意.-------3分 ‎（2）由（1）得，所以，当， 时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得，所以，解得．-----8分 ‎（3） 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为，即，令，则，则 5‎ ‎，令，因为，所以在上单增，所以，所以，即-----14分 5‎