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- 2021-06-26 发布
热点题型五 两角和(差)的正弦、余弦及正切
【基础知识整合】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S(α＋β))
tan(α－β)＝ (T(α－β))
tan(α＋β)＝ (T(α＋β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.
4．公式的常见变形
(1)1＋cos α＝2cos2；
1－cos α＝2sin2；
(2)1＋sin α＝(sin＋cos)2；
1－sin α＝(sin－cos)2.
(3)tan ＝＝.
5．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
类型一 三角函数公式的应用
【典例1】【2015高考新课标1】 =
【答案】
【解析】原式= ==.
【变式训练】.【2015高考重庆】若，则
【答案】3
【典例2】【2014·江苏卷】 已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
【解析】
(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
故sin＝sincos α＋cossin α＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝×＋×＝－.
【变式训练】【2014·新课标全国卷Ⅱ】 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
【答案】1
【解析】函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin【(x＋φ)＋φ】－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x，
故其最大值为1.
【解题技巧】
（1）两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
（2）运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β) 和二倍角的余弦公式的多种变形等．
类型二、三角函数式的化简与给角求值
【典例3】 【2016高考新课标2理数】若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
考点：三角恒等变换.
【思路点拨】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：
(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．
【变式训练】
【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.
【答案】3
【解析】
【考点定位】两角差正切公式
【思路点拨】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
【一题多解】
【2015高考四川，理12】 .
【答案】.
【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.
有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.
【思路点拨】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.
【解题技巧】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
①化为特殊角的三角函数值；
②化为正、负相消的项，消去求值；
③化分子、分母出现公约数进行约分求值．
类型三、三角函数的给值求值、给值求角
【典例4】【2015高考广东】已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【典例5】【2015·常州一模】已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值.
【解析】 (1)∵α，β∈，从而－<α－β<.
又∵tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.
∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos【α－(α－β)】
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×
＝.
【变式训练1】【2015·青岛质量检测】设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
【答案】
【变式训练2】【2014·华中师大模拟】已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－.
(1)求cos2α的值；
(2)求2α－β的值．
【解析】(1)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.
(2)因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈(0，)．
又cos2α＝－<0，故2α∈(，π)，sin2α＝.
由cosβ＝－，β∈(0，π)，
得sinβ＝，β∈(，π)．
所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝×(－)－(－)×＝－.
又2α－β∈(－，)，所以2α－β＝－.
【典例6】【2015·重庆】已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
【思维点拨】 (1)讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数．
(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．
【规范解答】
【解析】 (1)f(x)＝sinsin x－cos2x
＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，
从而当0≤2x－≤，
即≤x≤时，f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增；
在上单调递减．
【温馨提醒】
(1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y＝Asin(ωx＋φ)，φ的确定一定要准确．
(2)将ωx＋φ视为一个整体，设ωx＋φ＝t，可以借助y＝sin t的图象讨论函数的单调性、最值等．
【解题技巧】
(1)解题中注意变角，①当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；
(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．