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- 2021-06-25 发布
兰州一中2017-2018-1学期高三年级期中考试试题
数 学（文）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间150分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷
一．选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={θ|sinθ > cosθ}，B={θ|sinθ · cosθ < 0}，若θ∈A∩B，则θ所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知A(m，n)是直线l：f(x,y)=0上的一点，B(s，t)是直线l外一点，由方程f(x,y)+ f(m,n)+ f(s,t)=0表示的直线与直线l的位置关系是（ ）
A．斜交 B．垂直 C．平行 D．重合
3．在(x2-1)(x+1)4的展开式中，x3的系数是（ ）
A．0 B．10 C．－10 D．20
4．正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为l，则的取值范围为（ ）
A．（,+∞） B．（,+∞） C．（1,+∞） D．（2,+∞）
5．设函数f(x)=logax（a＞0且a≠1）的定义域为（，+∞），则在整个定义域上，f(x)＜2恒成立的充要条件充是（ ）
A．0＜a＜ B．0＜a ≤ C．a＞且a≠1 D．a≥且a≠1
6．设，则a=，b=1+x，c=中最大的一个是（ ）【来源：全,品…中&高*考+网】
A．a B．b C．c D．不确定
7．的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
8．设f(n)=cos(+)，则f(1)+ f(2)+ f(3)+…+ f(2006)=（ ）
A．- B．- C．0 D．
9．已知O为坐标原点，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则的
值是（ ）
A． B．- C．3 D．-3
10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（ ）
A． B． C．3 D．6
11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（ ）
D．
C�
B．
A．
12．对于任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如：[3.6]=3，[-3.6]=-4等），设函数f(x)= x - [x]，给出下列四个结论：①f(x)≥0；②f(x)<1；③f(x)是周期函数；④f(x)是偶函数.其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
（13题图）
二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．函数的图象如图所示，
则ω= ，φ= ．
14．设m=(a,b)，n= (c,d)，规定两向量m，n之间的一个运算“”
为mn=(ac-bd，ad+bc)，若p=(1,2)，pq=(-4,-3)，则q= .
15．如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒
（15题图）
落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ．
16．设x、y满足约束条件则目标函数z=6x+3y的
最大值是 .
三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(cosA，sinA)，n=(1，0)，且向量m+n为单位向量，求：
（Ⅰ）角A；
（Ⅱ）.
18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（Ⅰ）证明PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求二面角A—BE—D的正切值．
（18题图）
19. （本小题满分12分）在同款的四个智能机器人A，B，C，D之间进行传球训练，收集数据，以改进机器人的运动协调合作能力.球首先由A传出，每个“人”得球后都等可能地传给其余三个“人”中的一“人”，记经过第 次传递后球回到A 手中的概率为
Pn.
（Ⅰ）求P1、P2 、P3的值；【来源：全,品…中&高*考+网】
（Ⅱ）求Pn关于n的表达式.
20. （本小题满分12分）已知椭圆C：，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设F1，F2为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限内一点，满足，求△PAB面积的最大值．
21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．
（Ⅰ）求函数y =f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数与y=f（x）的图象有三个交点，求a的范围．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22. （本小题满分10）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数).
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线，设 M(x,y)为上任意一点，
求的最小值，并求相应的点M的坐标.
23. （本小题满分10）（选修4-5：不等式选讲）
设函数．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]，，求证：
．
兰州一中2017-2018-1学期高三年级期中考试
数学（文）参考答案及评分标准
一．选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分）【来源：全,品…中&高*考+网】【来源：全,品…中&高*考+网】
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
B
B
C
D
A
B
B
D
C
二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13． 2；；
14． (-2,1)；
15． 0.38；
16． 5.
三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(cosA，sinA)，n=(1，0)，且向量m+n为单位向量，求：
（Ⅰ）角A；
（Ⅱ）.
解：（Ⅰ）∵ m+n=(cosA+1，sinA) 为单位向量，
∴ (cosA+1)2+sin2A=1 ，即2 cosA+1=0，
得cosA=-，∴ A= . ……………………………… 4分
（Ⅱ）∵ A=，∴ B+C= ，即B=-C，结合正弦定理得：
==
==
==2. ……………………………… 10分
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（Ⅰ）证明PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求二面角A—BE—D的余弦值．
（Ⅰ）证明：连接AC交BD于G，连接EG，
∵ ，又 ，
∴ ，∴ PC∥EG，
又EG平面EBD，PC平面EBD，
∴ PC∥平面EBD.
…………………………………………… 6分
（Ⅱ）解法一：
∵ PB⊥平面ABCD， ∴ AD⊥PB.
又∵ AD⊥AB，∴ AD⊥平面EAB.
作AH⊥BE于H，连接DH，则DH⊥BE，
∴ ∠AHD 是二面角A—BE—D的平面角.
在△ABE中，AE=，由余弦定理可得BE=，
由△ABE 的面积得：AH=，
∴ tan∠AHD==，
故 二面角A—BE—D的正切值为. ……………………………… 12分
19. （本小题满分12分）在同款的四个智能机器人A，B，C，D之间进行传球训练，收集数据，以改进机器人的运动协调合作能力.球首先由A传出，每个“人”得球后都等可能地传给其余三个“人”中的一“人”，记经过第 次传递后球回到A 手中的概率为Pn.
（Ⅰ）求P1、P2 、P3的值；
（Ⅱ）求Pn关于n的表达式.
解：（Ⅰ）经过一次传球后，球落在B，C，D手中的概率分别为而在A手中的概率为0；
因此，
两次传球后，球落在A手中的概率为
要想经过三次传球后，球落在A手中，只能是经过二次传球后球一定不在A手中，
∴ …………………………………… 5分
（Ⅱ）要想经过n次传球后，球落在A手中，只能是经过次次传球后球一定不在A手中，
∴ ， ……………………………………7分
设 ， 则 ，
∴ ，， 即 ，
而，所以，是以（）为首项，（）为公比的等比数列， ……………………………………9分
∴ ，即 ，显然当n=1时也适合，
故 . ……………………………………12分
20. （本小题满分12分）已知椭圆C：，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设F1，F2为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限内一点，满足，求△PAB面积的最大值．
解：（Ⅰ）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），【来源：全,品…中&高*考+网】
由 ①， ②；
① ﹣②得：，即；
∴ ． ……………………… 4分
由于弦AB的中点在椭圆内部，得，
∴M点的轨迹方程为（）；……………………… 5分
（Ⅱ）依题意：F1（，0），F2（，0），设P（x，y）（x＞0，y＞0），
则 ，，
由 得： ，
即，与椭圆的方程联立，解得：
∴P点坐标为； …………………………………… 6分
设直线l的方程为，联立，
整理得：，由△＞0得﹣2＜m＜2，
∴ ，，
于是 ，点P到直线l的距离，………………… 8分
∴；
当且仅当m2=4﹣m2，即时，取等号，
故，△PAB面积的最大值1． ……………………… 12分
21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y +7=0．
（Ⅰ）求函数y =f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数与y=f（x）的图象有三个交点，求a的范围．
解：（Ⅰ）由f（x）的图象经过点P（0，2），得d=2． ………………………… 2分
∴ ，
由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y +7=0，
有﹣6﹣f（﹣1）+7=0，得f（﹣1）=1，且．
∴ ，解得b=c=﹣3．
故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2； ……………………………… 5分
（Ⅱ）∵函数g（x）与f（x）的图象有三个交点，
∴方程有三个根，
即有三个根， ……………………………… 7分
令，则h（x）的图象与y=a图象有三个交点．
接下来求h（x）的极大值与极小值，
h′（x）=3x2﹣9x+6，令h′（x）=0，解得x=1或2，
当x＜1或x＞2时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0，
∴ h（x）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞）；减区间是（1，2），…………… 10分
∴ h（x）的极大值为h（1）=，h（x）的极小值为h（2）=2
故， a的范围是：2＜a＜． ……………………………… 12分
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22. （本小题满分10）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数).
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线，设M(x,y)为上任意一点，
求的最小值，并求相应的点M的坐标.【来源：全,品…中&高*考+网】
解：（Ⅰ）圆C的方程为 …………………………………… 1分
直线L方程为 ………………………… 3分
（Ⅱ）由和得 ………………… 5分
设M为，则 …… 8分
所以当M为或时原式取得最小值1． …………… 10分
23. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]，，求证：．
解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，
∴ ①，或②，或③．
……………………………………… 3分
解①得x≤﹣2，解②得x∈∅，解③得x≥5，
∴不等式的解集为（﹣∞﹣2]∪[5，+∞）． ……………………………… 5分
（Ⅱ）f（x）≤2，即|x﹣a|≤2，解得a﹣2≤x≤a+2，而f（x）≤2解集是[﹣1，3]，
∴，解得a=1，∴ （m＞0，n＞0）．……………… 7分
∴，
当且仅当，即，时，取等号．……………… 10分