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- 2021-06-25 发布
【学习目标】
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．
3．熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法．
【方法总结】
1.解一元一次不等式ax>b(a≠0)的实质就是由不等式性质将不等式两边同乘以，并注意由a的取值的正负确定不等式的解.
2.解一元二次不等式的基本思想是：
(1)解一元二次不等式主要采用判别式法、求根法，应结合上表深刻理解不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集与对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根以及二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系.
(2)解一元二次不等式要注意密切联系一元二次方程、二次函数的图象，一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标，对应不等式的解集就是使函数图象在x轴上方或下方的部分所对应的x的集合，方程的根就是不等式解集区间的端点.
3.解指数、对数不等式既要运用相应的指数、对数函数的单调性，又要注意化异底为同底和定义域优先原则.
【高考模拟】
一、单选题
1．设集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合M,N，再求M∪N.
【详解】
由题得.
故答案为：B
【点睛】
(1)本题主要考查集合的化简与并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在化简集合N时，不要漏了x>0,函数的问题一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错.
2．已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
点睛：本题考查交集运算、二次不等式的解法和根式函数的定义域，主要考查学生的转化能力和计算求解能力．
3．不等式2x2－x－1>0的解集是( )
A． B． (1，＋∞)
C． (－∞，1)∪(2，＋∞) D． ∪(1，＋∞)
【答案】D
【解析】
【分析】
将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根，从而得到答案.
【详解】
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法：判断相应的方程是否有根，拖有根求出两个根，据一元二次不等式解集的形式写出解集.
4．若的解集为，则对于函数应有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
分析：由条件得到=﹣2，=﹣3，从而，利用二次函数的图象与性质比较大小即可.
详解：∵ax2+bx+c＜0的解集为，
∴﹣1，3是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．
∴﹣1+3=，﹣1×3=．
化为=﹣2，=﹣3．
∴函数=a=a（-3x2﹣2x+1）=．
∵a＜0，抛物线开口向上，且对称轴为x=．
∴离轴越近，值越小.
又,,
∴
故选：D．
点睛：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．设正数，满足，若关于的不等式的解集中的整数解恰有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：将不等式因式分解可得，由于解集中整数解恰有4个，则a＞2，则有，则四个整数解为-3，﹣2，﹣1，0．则有，结合条件，可得a＜4，进而得到a的范围．
点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的整数解的求法，考查不等式的性质的运用，考查运算能力，属于易错题．
6．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
分析：先根据a的范围确定a与 的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集．
点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．
（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．
7．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分析：先根据不等式解集与对应方程根的关系求得a,b，再解一元二次不等式可得解集.
详解：因为不等式的解集是，所以为方程的根,即
因为，所以,即，
因此选A.
点睛：本题考查不等式解集与对应二次方程根的关系，考查基本求解能力.
8．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分析：直接利用判别式不小于零列不等式求解即可.
点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.一元二次不等式在实数集上恒成立问题，一定要注意二次项系数的符号.
9．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为恒成立，利用判别式，从而求得实数的取值范围.
详解：不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.
点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的运算法则，注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合式子的判别式，求得结果.
10．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分析：因为定义域是，所以对一切实数恒成立，分两种情况讨论即可.
详解：对任意的，有恒成立，
所以或，故，故选A.
点睛：含参数的一元二次不等式的恒成立，需要分清是否是上恒成立，如果是，在确定是一元二次不等式的条件下直接应用判别式来考虑，如果在其他范围上的恒成立，则可以转化为函数的最值或者采用参变分离的方法来求参数的取值范围.
11．已知不等式的解集为，是和的等比中项，那么（ ）
A． 1 B． -3 C． -1 D． 3
【答案】A
【解析】分析：利用不等式解集的端点，为方程的根，解出的关系式。是和的等比中项则，代入式子求解
点睛：不等式解集的端点为方程的根，往往应用于已知解集求不等式的参数。
12．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( )
A． (－1，4) B． (－∞，0)∪(3，＋∞)
C． (－4，1) D． (－∞，－1)∪(4，＋∞)
【答案】D
【解析】分析：不等式有解，即为大于的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．
详解：正实数 满足则 =4，
当且仅当，取得最小值4．
由x有解，可得 解得或
．
故选 D ．
点睛：本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想，求最值，同时考查乘1法和基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属中档题．
13．设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由是函数的极值点可得，同时根据三角函数的性质可得，于是可得存在使不等式成立，求得的最小值，然后解不等式即可．
【详解】
故选C．
【点睛】
本题考查学生的转化能力和运算能力，解答本题的关键点有两个，一是对“是函数的极值点”的理解，并由此得到和的值；二是如何解决存在性问题，注意解题时转化为求最小值的问题．
14．对一切实数x，若不等式x4+(a -1)x2+1≥0恒成立，则a的取值范围是
A． a ≥-1 B． a ≥0 C． a ≤3 D． a ≤1
【答案】A
【解析】分析：先令x2=t,再利用变量分离法转化为函数最值问题，最后根据基本不等式求最值得结果.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
二、解答题
15．（Ⅰ）解关于的不等式a；
（Ⅱ）已知不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）见解析.
（2）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）方程的两根为或，分（1）当a＞0时、（2）当a＜0时两种情况，依据 和0的大小关系，解一元二次不等式求得它的解集；（Ⅱ）利用不等式恒成立，通过二次项的系数是否为0，分类转化求解即可．
【详解】
【点睛】
（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．
（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．
16．（1）若关于的不等式的解集是的子集，求实数的取值范围；
（2）已知，，均为正数，且，求的最小值.
【答案】（1）.（2）12.
【解析】
分析：（1）化简不等式＜0，通过a与2的范围的讨论，求解即可；
（2）根据题意，将abc=9（a+b）变形可得c=9×，则a+b+c=（a+b）+9×，结合基本不等式的性质分析可得答案．
详解：（1）由题，
当时，不等式的解集为，此时显然是的子集，
当时，不等式的解集为，要使其为的子集，∴，综上，.
（2）根据题意，，则，
则 ，
当且仅当时，等号成立；则的最小值为12.
点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．
（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．
17．已知二次函数,且不等式的解集为，对任意的都有恒成立.
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）由题意的解集为转化为方程的两个根是和，由由韦达定理，在由在恒成立，根据，即可求解的值，得到函数的解析式；
（2）由题意，分类参数得，设, 得到，利用均值不等式即可求解.
， 又∵
∴ ∴
点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及函数的恒成立问题和不等式的有解问题的求解，其中熟记二次函数图象与性质和分类参数法求解不等式的恒成立与有解问题是解答的关键，着重考查了转化思想方法的应用，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
18．设：实数满足，：实数满足.
（Ⅰ）当时，若为真，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1) .
(2).
【解析】分析：（Ⅰ）利用一元二次不等式和分式不等式的解法即可化简命题，求命题为真的并集，即可得出答案.
（Ⅱ）是的必要条件，可得命题对应的集合为命题对应的集合的子集，即可求出答案.
详解：解：（Ⅰ）当时，：，：或.
因为为真，所以，中至少有一个真命题.
所以或或，
所以或，
所以实数的取值范围是.
（Ⅱ）当时，：，
由得：：或，
所以：，
因为是的必要条件，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
点睛：本题考查了一元二次不等式的解法、简单逻辑的判断方法和必要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，利用复合命题之间的关系是解题关键.
19．（1）解关于不等式：.
（2）对于任意的，不等式恒成立，试求的取值范围.
【答案】（1）见解析.（2）.
【解析】分析：（1）分解因式，对进行分类讨论。
（2）设，则只要在上恒成立即可，用变换主元的思想。
（2）不妨设，则只要在上恒成立即可.
所以，即，解得.
则的取值范围为.
点睛：一元二次不等式含参问题，分四重分类讨论：
1、对值讨论，
2、对值讨论，
3、对两根的大小关系讨论
4、对两根与区间的位置关系进行讨论。
20．已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若关于的不等式解集为，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】分析：（1）不等式即，结合可知不等式的解集为.
（2）由题意结合韦达定理可得，，则原问题转化为
恒成立，结合均值不等式的性质和恒成立的条件可得的取值范围为.
点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．已知函数，其中.
(Ⅰ)若，解不等式；
(Ⅱ)记不等式的解集为，若，求的取值范围.
【答案】(1) ，或.
(2) .
【解析】分析：（Ⅰ）解：由题意，当时，得不等式，根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集；
(Ⅱ) 由不等式的解集为，且，得，即，分类讨论，即可求解实数的取值范围.
详解：（Ⅰ）解：由题意，得不等式，
解得，或.
所以不等式的解集为，或.
点睛：本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次函数的应用，其中熟记一元二次不等式的解法和一元二次函数的图像与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力和转化思想方法的应用.
22．已知函数.
(1)若对于恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）讨论的符号并结合二次不等式的恒成立可得结论．（2）分离参数转化为求函数的最值的问题处理，然后根据二次函数的最值可得所求的范围．
详解：（1）①当时，恒成立．
②当时，由在上恒成立得
，解得，
综上可得．
∴实数的取值范围为．
（2）由题意得对于恒成立，
点睛：一元二次不等式恒成立问题的解题方法
（1）图象法：对于一元二次不等式在上恒成立的问题，可根据二次不等式对应的抛物线的开口方向和判别式的符号求解．
（2）分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．
23．已知一元二次函数.
（1）若的解集为，解关于的不等式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】分析：(1)先根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，求得，代入并解一元二次不等式得结果，（2）根据二次函数图像得，即得，因此
，再令化为对勾函数，利用基本不等式求最值.
详解：（1）∵的解集为∴，，
∴.故
从而，解得.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
24．已知集合，，又，求等于多少？
【答案】
【解析】分析：先根据指数函数，对数函数的性质，将化简，从而可得出，再根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求出，进而得出.
详解：
由题意，，，
，，
，，
方程的两个根为和，由韦达定理则，，
∴．
点睛：本题考查了指数函数，对数函数的单调性，集合的基本运算，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于简单题.
25．已知集合A是函数的定义域，集合B是不等式的解集，．
（I）若，求a的取值范围；
（II）若是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）分别求函数的定义域和不等式的解集，从而确定集合A,B，由，得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到的取值范围；
（2）求出对应的的取值范围，由是的充分不必要条件得到对应的集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解的取值范围.
∴a的取值范围是．
点睛：该题所涉及的考点有交集及其运算，充分不必要条件，复合命题的真假，解题的关键是先确定集合中的元素，再者就是两集合交集为空集时对应参数的取值范围，可以借助于数轴来完成.
三、填空题
26．已知关于的不等式的解集为，则__________．
【答案】0.
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系即可得出
【点睛】
（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式。
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
27．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为_____________.
【答案】（-3，0）
【解析】分析：一元二次不等式，所以，时，求解的取值范围
详解：题意为一元二次不等式故，，函数开口向上不可能对一切实数，都位于轴的下方。所以当时.
点睛：二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式
问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想，我们要灵活的应用。
28．设函数，其中.若对于任意，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】分析：先求函数的导数，令，由题可知，对于任意
，恒成立，再结合二次函数的性质，即可求得答案.
详解：由题可知，
令，则与符号相同，
对于任意，
对于任意，恒成立，
又
根据二次函数的图象与性质，得，解得,
实数的取值范围是.
故答案为.
点睛：本题考查函数导数的计算，二次函数的图象和性质，以及二次不等式恒成立问题.
由二次函数图象与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论：
（1）不等式对任意实数恒成立或
（2）不等式对任意实数恒成立或.
29．当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：按绝对值定义分类讨论：当， ；当，，再根据对应函数单调性或基本不等式求最值求最值，即得的取值范围.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.