河南省郑州市第一中学2019-2020学年高二上学期第2次测试数学试题 19页

郑州市第一中学2019-2020学年高二上学期 第2次测试数学试题 一、选择题（共12×5=60分．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知数列的前项和为，当时，（　　）‎ A. 11 B. 20 C. 33 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列的性质可得，计算可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的前n项和的性质，属于基础题.‎ ‎2.在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理得到，再画出图像得到答案.‎ ‎【详解】利用正弦定理： ‎ 三角形有两解 如图知： ‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了三角形解的个数问题，也可以利用画三角形根据边角关系得到答案.‎ ‎3.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，再利用正弦定理得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 利用正弦定理：‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了正弦定理，属于常考基础题型.‎ ‎4.已知数列是首项为，公差为的等差数列，若，则正整数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到数列的通项公式为，再代入数据计算得到答案.‎ ‎【详解】数列是首项为，公差为的等差数列 ‎ ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于简单题型.‎ ‎5.等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 15 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由数列等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和公式。‎ 考点：1．等比数列通项公式及前n项和公式；2．等差中项。‎ ‎6.在中，角A、B、C的对边分别是、、，且，，则的外接圆直径为（ ）‎ A. B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ,,‎ ‎ , ,‎ ‎ ，选C.‎ ‎7.已知等比数列的前项和为，前项和为，则前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用成等比数列，计算得到答案.‎ ‎【详解】等比数列的前项和为，前项和为 成等比数列.‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了等比数列前N项和的性质，利用此方法可以简化运算，也可以直接利用等比数列公式计算得到答案.‎ ‎8.在中，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】根据正弦定理：‎ 根据余弦定理：‎ ‎ ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正余弦定理的灵活运用和计算能力.‎ ‎9.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件利用公式得到，利用裂项求和法得到答案.‎ ‎【详解】，‎ ‎ ‎ 前项和为： ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式和求和方法的灵活运用.‎ ‎10.如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点，， ．从点测得，从点测得，，从点测得．现测得千米，千米，则，两点间的距离为（ ）‎ A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中,得到，在中，利用正弦定理得到，最后在中，利用余弦定理得到答案.‎ ‎【详解】在中，，‎ 在中，，‎ 利用正弦定理得到： ‎ 在中， ‎ 利用余弦定理得到： ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力和计算能力.‎ ‎11.已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，数列的前项和满足，数列满足，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，然后得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列 ‎ ‎ 数列前项和满足 ‎ ‎ 当时， ‎ 数列的前项和为34‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式，通项公式与前n项和关系，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.‎ ‎12.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，若，则等于 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，故利用正弦定理将条件中边化成角，然后变形可得，利用三角形中角的关系及诱导公式可得，根据可得，进而得。可得结果。‎ ‎【详解】因为，所以由正弦定理可得，‎ 则，又，所以，‎ 即，因为，所以，，所以，‎ 即，故．故选D．‎ ‎【点睛】三角形中已知边、角关系，求边或角，应利用正弦定理或余弦定理将条件都化成边或角。（1）都化为角，注意利用三角函数公式及三角函数的性质进行变形化简；（2）都化成边，对式子化简整理变形，可得边之间的关系，进而可得三角形的形状。‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知中，角的对边分别为，且满足则___‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式两边平方，结合余弦定理可得2（）2﹣5（）+2＝0，解方程即可得解．‎ ‎【详解】∵∠B＝，a+c＝，‎ ‎∴a2+c2+2ac＝3b2，①‎ 又由余弦定理可得：a2+c2﹣2ac＝b2，②‎ ‎∴联立①②，可得：2a2﹣5ac+2c2＝0，即：2（）2﹣5（）+2＝0，‎ ‎∴解得：＝2或．‎ 故答案为：2或．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．‎ ‎14.已知数列的通项公式,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查的是数列求和，关键是构造新数列，求和时先考虑比较特殊的前两项，剩余7项按照等差数列求和即可．‎ ‎【详解】令，‎ 则所求式子为的前9项和．‎ 其中，，‎ 从第三项起，是一个以1为首项，4为公差的等差数列，‎ ‎，‎ 故答案为：101．‎ ‎【点睛】本题考查的是数列求和，关键在于把所求式子转换成为等差数列的前项和，另外，带有绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项．‎ ‎15.在中，角，，的对边分别是，，，，，，则的面积为__．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正弦定理将边化为角，再根据诱导公式以及两角和正弦公式化简解得角C ‎，最后根据三角形面积公式得结果.‎ ‎【详解】在中，由正弦定理知，又，‎ ‎,即，‎ ‎， ；，又，，‎ ‎．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、两角和正弦公式以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎16.已知数列的前项和为，首项且，若对恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由得到数列是以为首项，公比为2的等比数列，求出其通项公式，再得到，根据题意，再得到对恒成立，分别讨论为奇数和为偶数两种情况，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ ‎∴数列是以为首项，公比为2的等比数列，‎ ‎∴，.‎ 因此.‎ 所以对恒成立，可化为对恒成立.‎ 当为奇数时，，所以 ，即；‎ 当为偶数时，，解得.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于常考题型.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.的内角，，所对的边分别为，，.已知，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用两角和的余弦公式化简原式，可得，从而可得结果；（2）由，利用正弦定理可得，由的面积为，可得，求得的值，再根据余弦定理求出的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】（1）由，‎ 得.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）∵，‎ 所以，由正弦定理可得.‎ 又因为的面积为，‎ ‎∴，∴，∴，.‎ 由余弦定理得，∴‎ 故的周长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎18.正项数列的前n项和Sn满足：‎ ‎ (1)求数列的通项公式； ‎ ‎(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）因为数列的前项和满足：，‎ 所以当时，，‎ 即 解得或，‎ 因为数列都是正项，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 解得或，‎ 因为数列都是正项，‎ 所以，‎ 当时，有，‎ 所以，‎ 解得，‎ 当时，，符合 所以数列的通项公式，;‎ ‎（2）因为，‎ 所以 ‎，‎ 所以数列前项和为：‎ ‎，‎ 当时，‎ 有，‎ 所以，‎ 所以对于任意，数列的前项和.‎ ‎19.设等差数列的前项和为，，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，且，，求数列的前项和为 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ‎，‎ 解得，‎ 所以 ‎（2）由题意，‎ 所以当时，，‎ 所以 由得，‎ ‎，‎ 考点：1、等差数列的通项公式；2、错位相减求数列的和．‎ ‎20.‎ 设数列的前项和为．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的取值范围． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，，即，由此得，因此，．当时，为等比数列，首项是 ‎，公比，所求通项公式为，；当时，，，也适合上式，故数列的通项公式为；（Ⅱ）由通项可知，，‎ 当时，，，所以 ‎（），当n=1时再验证一下 试题解析：（Ⅰ）依题意，，即，‎ 由此得，因此，．‎ 当时，为等比数列，首项是，公比，‎ 所求通项公式为，．①‎ 当时，，，也适合①．‎ 故数列的通项公式为，．‎ ‎（Ⅱ）由①知，，‎ 于是，当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，．又．‎ 综上，所求的的取值范围是．‎ 考点：数列性质及其恒成立问题 ‎21.在中，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设的角平分线交于，且，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简得到，再利用辅助角公式得到，计算得到答案.‎ ‎（2）正弦定理得，再利用 计算得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）由题意知，.‎ 即 ‎，‎ 又，所以.‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，‎ ‎，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了正余弦定理，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力和计算能力.‎ ‎22.已知数列满足：，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足：，证明：是等差数列.‎ ‎（3）证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）递推公式变形为，为等比数列，计算得到 ‎（2）化简得到，‎ ‎，两式相减整理得到 ‎，得证 ‎（3）所以 故得证.‎ ‎【详解】解：（1）∵，∴，‎ ‎∴是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎∴.即.‎ ‎（2）证明：∵，∴，‎ ‎∴，①‎ ‎.②‎ ‎②①，得，‎ 即，③‎ ‎.④‎ ‎④③，得，即，∴，‎ ‎∴是等差数列.‎ ‎（3）证明：∵，‎ ‎∴.①‎ ‎∵，，‎ ‎∴，②‎ 综上①，②得：.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，等差数列的证明，数列不等式的证明，综合性强，技巧高，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用和数列放缩方法的掌握情况.‎ ‎ ‎ ‎ ‎