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- 2021-06-25 发布
鹤岗一中2018～2019学年度下学期期中考试
高一数学（文科）试题
一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分。每题只有一个正确答案）
1、等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
2、在中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B． C． D．2
3、已知数列，，2，，…，则2是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项 C．第19项 D．第11项
4、已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
5、已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝( )
A．2 B．4＋2 C．4－2 D．－
6、给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则C＝( )
A. B. C. D.
8、在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20 C．19 D．18
9、张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A．2 km B．2 km C．3 km D．3 km
10、在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B.－ C.＋ D.＋
11、已知中，内角A、B、C成等差数列，其对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
12、定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋ ＋…＋＝( )
A． B． C． D．
二、填空题：（每题5分，满分20分）
13、已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a3＋a4＝_____.
14、已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c//(2a＋b)，则λ＝_______.
15、在中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
16、在中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为_______.
三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（本小题满分10分）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
①求{an}的通项公式；
②记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
18、（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足关系
bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
19、（本小题满分12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b， c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，的面积为，求△ABC的周长．
20、（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前项的和为Sn，，.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，记数列bn的前项和，求使得恒成立时的最小正整数.
21、（本小题满分12分）如图，在中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
22、（本小题满分12分）已知{an}为等差数列，前n项和为，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求数列的前n项和．
鹤岗一中2018～2019学年度下学期期中考试
高一数学（文科）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
C
D
B
B
A
C
C
B
D
A
B
C
一、 选择题：
二、 填空题：
13.12 14. 15. 1 16. 2
三、解答题：
17．解析：①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
②若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
18、解析：(1)证明：∵bn＝，且an＝，
∴bn＋1＝＝＝，
∴bn＋1－bn＝－＝2.
又∵b1＝＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，∴an＝＝.∴数列{an}的通项公式为an＝.
19、解析：(1)因为2cos C(acos B＋bcos A)＝c，结合正弦定理得2cos C(sin A·cos B＋sin B·cos A)＝sin C，化简得
2cos C·sin(A＋B)＝sin C.
因为A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，所以sin(A＋B)＝sin C＞0，所以2cos C＝1，即cos C＝.
又因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab·cos C，即7＝a2＋b2－2ab·，所以(a＋b)2－3ab＝7.
又因为S＝ab·sin C＝ab＝，所以ab＝6，所以(a＋b)2－18＝7，故a＋b＝5.
所以，△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
20、解析：（1）设等差数列{an}的公差为，因为，，
所以 解得
所以数列{an}的通项公式为.
（2）由（1）可知
∴
,
∴，∴，∴的最小正整数为1
21、解析：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos 30°＝.故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，＝，
化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，
即tan∠PBA＝.
22、解析：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.
又因为q>0，解得q＝2，所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①.
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②.
联立①②，解得a1＝1，d＝3，
由此可得an＝3n－2.
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.
(Ⅱ)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，
b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故
Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，①
4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，②
①－②，得
－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1
＝－4－(3n－1)×4n＋1
＝－(3n－2)×4n＋1－8，
得Tn＝×4n＋1＋.
所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.