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- 2021-06-25 发布
数学（理）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1. 命题:“x∈R,”的否定是 （ ）
A.x∈R, B.x∈R,
C.x∈R, D.x∈R,
2.“”是“方程表示椭圆”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知命题的否定是，命题双曲线的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4. 曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量，且与垂直，则与的夹角为()
A. B. C. D.
6.点F是抛物线的焦点，点P是抛物线上任意一点，点A(3, 1)是一定点，则|PF|+|PA|的最小值是
（A）2 （B） （C）3 （D）
7.设是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象可能是( )
A.B.C.D.
8.抛物线上的点到直线距离的最小值是
（A） （B） （C） （D）3
9.若函数在区间单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，则()
A. B.
C. D.
11. 以椭圆的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数的导函数,且满足,则=( )
A.5 B.6 C.7 D.-12
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.抛物线的准线方程为___________。
14.函数的单调递减区间为 。
15.已知函数,若,则等于__________
16.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是．
三、解答题（共6道题，共70分）
17.（本小题满分10分） 已知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程；
（2）的单调递减区间．
18.（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于两点．
(1)求抛物线的方程及点的坐标；
(2)求的最大值．
19. （本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
（1）证明平面；
（2）求二面角的大小.
20.（本小题满分12分）
如图,在正三棱柱中,,分别为,的中点.
（1）求证:平面;
（2）求与平面所成角正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知函数在处的极小值为.
（1）求的值，并求出的单调区间；（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围。
22.（本小题满分12分）已知分别为椭圆C：的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）E,F是椭圆C上异于点的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
高二（理）数学学科试卷
答案：
一、 选择题
CCAADD CADBAB
二、填空题
13. 14.15.16. [2，＋??쨤)
三、 解答题
17.【答案】（1）；（2）单调递减区间为
【解析】试题分析：（1）求导得，故，又，根据点斜式方程可得切线方程；（2）令，解不等式可得函数的单调递减区间。
试题解析：
（1）∵
∴，
∴，
又，
∴函数的图象在点处的切线方程为，
即。
（2）由（1）得，
令，解得或。
∴函数的单调递减区间为。
点睛：
20.答案：1.证明:
取的中点,连结,
在△中,因为分别为的中点,
所以且,
又为的中点,,
所以且,
即且,
故四边形为平行四边形,所以
又平面,平面,
所以平面
2.取中点,连结,
则,平面,
以为原点,分别以为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系
则有,
得
设平面的一个法向量为
则 ,即,
令,则
设与平面所成的角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为
21.试题解析：（1）由已知得,
当时，，在内单调递减.
当时，若，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减.
（2）令，由
解法一：
当时，，所以在内单调递减，
则有，从而 ,
当时，，得，当，有，则在上内单调递增，此时，与恒成立矛盾，因此不符合题意,
综上实数的取值范围为.
解法二：
当时，，所以在内单调递减，
则有，符合题意.
当时，，得，当，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减.又，
因此，即 ,
综上实数的取值范围为.
22【答案】（Ⅰ）． （Ⅱ） ．
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据轴可得焦点的坐标；结合周长即可求得a的值，利用椭圆中a?b?c的关系求得椭圆的标准方程。
(Ⅱ)根据P点坐标，设出PE方程，联立直线与椭圆的方程，消y后得到关于x的一元二次方程，设出E?F坐标,利用韦达定理及直线的斜率与的斜率互为相反数的关系，求得直线的斜率?
【详解】(Ⅰ）由题意， ,,
的周长为6
,
椭圆的标准方程为.
(Ⅱ）由(Ⅰ)知 ,
设直线PE方程：，联立，消得
设 ,点在椭圆上
,
又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代,
,
即直线的斜率为定值，其值为 .