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- 2021-06-25 发布
山西大学附属中学
2016-2017学年高三第二学期5月模块诊断
数学试题（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则的值为（ ）
A．3 B． C．或3 D．3或
3．若按如右图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( )
A.5 B.6 B.7 D.8
4.如右下图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是（ ）
A B C D
5.一个样本，3，5，7的平均数是，且，分别是数列的第2项和第4项，则这个样本的方差是（ ）A.3 B.4 C.5 D.6
6． 以下判断正确的个数是（ ）
①相关系数值越小，变量之间的相关性越强.
②命题“存在”的否定是“不存在”.
③“”为真是“”为假的必要不充分条件.
④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是.
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
7. 已知函数，则的图象大致为( )
A B C D
8. 已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，若∥平面,则动点的轨迹所形成的区域面积是（ ）
A． B． C. D．
9.在直角中，，，为边上的点且，若，则实数的最大值是（ ）
A． B． C. 1 D．
10.数列前项和是，且满足，，，则的值为（ ）
A． B． C. D．
11.已知函数的图象与直线相切，当函数恰有一个零点时，实数的取值范围是（ ）
A.{0} B. C. D.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为( )
A.和 B.和 C.和 D.和
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知角的终边上一点的坐标为,则角的最小正值为 ．
14．甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是_________．
15.过平面区域内一点作圆：的两条切线，切点分别为，记，当最大时，点坐标为 ．
16.设函数，其中，.
若，，是的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①，；
②，使，，不能构成一个三角形的三条边长；
③若为直角三角形，对于，恒成立.
④若为钝角三角形，则，使；
三、解答题 （本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分） 在中，角， ， 的对边分别为， ， ， .
（1）证明： 是正三角形；
（2）如图，点在边的延长线上，且， ，求的值.
18．（本小题满分12分） 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001,002，…，800进行编号．
（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；
（下面摘取了第7行到第9行）
（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有．
①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求的值：
②在地理成绩及格的学生中，已知，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．
19.（本小题满分12分）等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点.点 在边上，且.现沿将折起到的位置，使.
(1)证明平面；
（2）记，表示四棱锥的体积,求的最值.
20. (本小题满分12分)已知，，曲线上的任意一点满足：.
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，交轴于点，设，
，试问是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由.
21. (本小题满分12分) 已知函数．
（1）证明：对任意的，都有；
（2）设，比较与的大小，并说明理由．
22．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为（）.
（1）以曲线上的点与点连线的斜率为参数，写出曲线的参数方程；
（2）设曲线与曲线的两个交点为，，求直线与直线的斜率之和.
23.（1）若不等式成立的充分不必要条件为，求实数的取值范围.
（2）已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy．
山西大学附属中学
2016-2017学年高三第二学期5月模块诊断
数学试题（文理）答案
1.设复数（为虚数单位），则的虚部是（ A ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则的值为（A）
A．3 B． C．或3 D．3或
3．若按如右图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( B )
A.5 B.6 B.7 D.8
4.如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是
某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,
且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是（ D ）
5.(理)定积分（ C ）
A． B． C． D．
5.(文)一个样本，3，5，7的平均数是，且，分别是数列的第2项和第4项，则这个样本的方差是（ C ）
A.3 B.4 C.5 D.6
6． 以下判断正确的个数是（ B ）
①相关系数值越小，变量之间的相关性越强.
②命题“存在”的否定是“不存在”.
③“”为真是“”为假的必要不充分条件.
④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是.
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
【答案】B
【解析】关系数值越小，变量之间的相关性越弱，故错误；②命题“存在”
的否定是“任意”，故错误；③“”为真时，“”为假不一定成立，故“”为真是“”为假的不充分条件，“”为假时，“”为真，“”为真，故“”为真是“”为假的必要条件，故“”为真是“”为假的必要不充分条件，故正确；④若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则，则回归直线方程是，故正确；故选B.
7. 已知函数，则的图象大致为( A )
A．解析：取特殊值，即可排除BCD选项；法二：求导研究单调性可得；法三：利用常见结论，由于，可排除BD，时，，可排除C．
8.已知正方体的棱长为1，E是棱的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面,则动点F的轨迹所形成的区域面积是（ C ）
A． B． C. D．
9.在直角中，，，为边上的点且，若，则实数的最大值是（ C ）
A． B． C. 1 D．
10.数列前n项和是，且满足，，，则的值为（ D ）
A． B． C. D．
11.已知函数的图象与直线相切，当函数恰有一个零点时，实数的取值范围是（ A ）
A.{0} B. C. D.
12. 12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为( C )
A.和 B.和 C.和 D.和
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.. 已知角的终边上一点的坐标为,则角的最小正值为
14．甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是___1,2
15.过平面区域内一点作圆：的两条切线，切点分别为，记，当最大时，点坐标为 ．
16. 设函数，其中，.
若，，是的三条边长，则下列结论正确的是①②④ ．（写出所有正确结论的序号）
①，；
②，使，，不能构成一个三角形的三条边长；
③若为直角三角形，对于，恒成立.
④若为钝角三角形，则，使；
17. 在中，角， ， 的对边分别为， ， ， .
（1）证明： 是正三角形；
（2）如图，点的边的延长线上，且， ，求的值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用配方法，可得，即三边长相等，得证正三角形；（2）首先在中应用余弦定理求出边长，从而得长，再在中应用正弦定理可得．
解析：（1）由,得,所以，所以,即是正三角形.
（2）因为是等边三角形，，所以，,所以在中，由余弦定理可得：，可得，解得,在中，，由正弦定理可得.
18．(文) 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001,002，…，800进行编号．
（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；
（下面摘取了第7行到第9行）
（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有．
①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求的值：
②在地理成绩及格的学生中，已知，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．
18．（1）785,667,199
（2）①，∴，.
因为，，所以的搭配；
，共有14种.
设，，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件，.
事件包括：，共2个基本事件；
，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为.
18.(理)(本小题满分12分)
某工程设备租赁公司为了调查A，B两种挖掘机的出租情况，现随机抽取了这两种挖掘机各100台，分别统计了每台挖掘机在一个星期内的出租天数，统计数据如下表：
(I)根据这个星期的统计数据，将频率视为概率，求该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
(II)如果A，B两种挖掘机每台每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种挖掘机中购买一台，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种类型，并说明你的理由．
解：（I）设“事件表示一台Ａ型挖掘机在一周内出租天数恰好为天”，
“事件表示一台Ｂ型挖掘机在一周内出租天数恰好为天”，其则该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
………………2分
所以该公司一台A型车，一台B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为…4分
（Ⅱ）设为A型挖掘机出租的天数，则的分布列为
1
2
3
4
5
6
7
0.05
0.10
0.30
0.35
0.15
0.03
0.02
…………………………………6分
设为B型挖掘机出租的天数，则的分布列为
1
4
5
6
7
0.14
0.20
0.20
0.16
0.15
0.10
0.05
…………………………………8分
…10分
一台A类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.62天，一台辆B类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.48天，选择A类型的挖掘机更加合理 . ………………12分
19. (文)（本小题满分12分）等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点.点 在边上，且.现沿将折起到的位置，使.
(Ⅰ)证明平面；
（Ⅱ）记，表示四棱锥的体积,求的最值。
19. 解:（Ⅰ），故，而，
所以平面.
（Ⅱ），平面，即为四棱锥的高.
由高线及得∥，，由题意知
=.
而，，
当时
19.(理)如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.
19.解：（1）因为是直径，所以，因为平面，所以，
因为，所以平面，因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为平面，，
所以平面，，在中，，
由（1）知当且仅当时，等号成立.
如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，.
则，，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，∴，取，则，
设平面的一个法向量为，
则，即，∴，取，则，
∴，∴二面角的余弦值为.
20.已知，，曲线上的任意一点满足：.
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，交轴于点，设，，试问是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由.
20.解：（1）设，则，，，
∵，∴，
化简得，为所求点的轨迹方程.
（2）设，.
①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，
则，从而，，由得
，，，
同理由得，∴.①
由，得.∴，，
代入①式得，∴.
②当直线与轴重合时，，，.
由，，得，，∴，
综上，为定值.
21.(文) 已知函数．1111]
（1）证明：对任意的，都有；
（2）设，比较与的大小，并说明理由．
21.（1）因为，故在上是增加的，在上是减少的
，
设，则，
故在上是增加的，在上是减少的，故，
.所以对任意的恒成立
（2）， 且，
∵，∴，故只需比较与的大小，
令，设，
则.
因为，所以，所以函数在上是增加的,故.
所以对任意恒成立.即，
从而有.
21. (理) 已知函数，，（其中是自然对数的底数）.
（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围.
（2）若，求证：.
21.解：（1）因为不等式等价于，
所以，使得不等式成立，
等价于，即，
当时，，
故在区间上单调递增，所以时，取得最小值.
又，由于，，，
所以，故在区间上单调递减，因此时，取得最大值.
所以，所以.所以实数的取值范围为.
（2）当时，要证，只要证，
只要证，
只要证，
由于，，只要证.
下面证明时，不等式成立，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1.
令，其可看作点与点连线的斜率，
所以直线的方程为，
由于点在圆，所以直线与圆相交或相切.
当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为1.
故时，；时，.
综上所述：时时，成立.
22．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为（）.
（1）以曲线上的点与点连线的斜率为参数，写出曲线的参数方程；
（2）设曲线与曲线的两个交点为，，求直线与直线的斜率之和.
解：（1）由得.
故曲线的参数方程为.（为参数，且）.
（2）由，得，.
将代入整理得，
故直线与直线的斜率之和为4.
23.（1）若不等式成立的充分不必要条件为，求实数的取值范围.
（2）已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy．
解：（1）不等式的解集为，依题意有，
则，解得.
（2）证明：因为a，b是正数，且a＋b＝1，
所以(ax＋by)(bx＋ay)＝abx2＋(a2＋b2)xy＋aby2
＝ab(x2＋y2)＋(a2 ＋ b2)xy ≥ab2xy＋(a2 ＋ b2)xy ＝(a＋b)2xy＝xy
即(ax＋by)(bx＋ay)≥xy成立．