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- 2021-06-25 发布
2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．不等式x﹣2y+3＞0表示的区域在直线x﹣2y+3=0的（ ）
A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方
3．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则b=（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，a=2，b=5，c=6，cosB等于（ ）
A． B． C． D．
5．不等式x2﹣2x＜0的解集是（ ）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x＜﹣2，或x＞0}
6．已知等比数列{an}的公比为2，则值为（ ）
A． B． C．2 D．4
7．在等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则a8等于（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．已知x＞3，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
9．下面结论正确的是（ ）
A．若a＞b，则有 B．若a＞b，则有a|c|＞b|c|
C．若a＞b，则有|a|＞b D．若a＞b，则有
10．不等式组表示的平面区域面积是（ ）
A． B． C．1 D．2
11．集合A={x|x2+2x＞0}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣2） C．R D．（﹣3，﹣2）∪（0，1）
12．若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）
13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为 ．
14．在△ABC中，∠A=30°，∠C=120°，，则AC的长为 ．
15．已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠1），则该数列的前n项和Sn= ．
16．比较x2+5x+6与2x2+5x+9的大小．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解关于x的不等式：
（1）3x2﹣7x＞10
（2）．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=，A=30°．
（1）求sinB的值；
（2）求cosC的值．
19．等差数列{an}中，已知a2=3，a7=13．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列前8项和S8的值．
20．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1且a1，a3，a9，成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
21．如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD的长为x米 （2≤x≤6）．
（1）用x表示墙AB的长；
（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y（元）表示为x（米）的函数；
（3）当x为何值时，墙壁的总造价最低？
22．已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）．
（1）若对于所有实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）若对于m∈[﹣2，2]不等式恒成立，求x的取值范围．
2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解
【解答】解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{an}
∴an=an﹣1+an﹣2 （n＞3）
∴x=a7=a5+a6=5+8=13
故选C
2．不等式x﹣2y+3＞0表示的区域在直线x﹣2y+3=0的（ ）
A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】利用二元一次不等式与对应直线的关系，利用点定域的方法解答．
【解答】解：将（0，0）代入不等式x﹣2y+3＞0成立，所以它表示的区域在直线x﹣2y+3=0的右下方；
故选B
3．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则b=（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理即可得出．
【解答】解：由正弦定理可得，．
故选：A．
4．在△ABC中，a=2，b=5，c=6，cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】余弦定理．
【分析】根据余弦定理cosB=的式子，代入题中的边长加以计算，可得cosB的值．
【解答】解：∵在△ABC中，a=2，b=5，c=6，
∴根据余弦定理，得cosB===．
故选：A
5．不等式x2﹣2x＜0的解集是（ ）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x＜﹣2，或x＞0}
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】先求相应二次方程x2﹣2x=0的两根，根据二次函数y=x2﹣2x的图象即可写出不等式的解集．
【解答】解：方程x2﹣2x=0的两根为0，2，
且函数y=x2﹣2x的图象开口向上，
所以不等式x2﹣2x＜0的解集为（0，2）．
故选：A．
6．已知等比数列{an}的公比为2，则值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：由已知可得： =22=4．
故选：D．
7．在等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则a8等于（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：由题意可得：a8=1+2×（8﹣1）=15．
故选；C．
8．已知x＞3，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】利用基本不等式直接求解表达式的最小值即可．
【解答】解：x＞3，则=≥=7．
当且仅当x=5时等号成立．
故选：D．
9．下面结论正确的是（ ）
A．若a＞b，则有 B．若a＞b，则有a|c|＞b|c|
C．若a＞b，则有|a|＞b D．若a＞b，则有
【考点】不等式的基本性质．
【分析】令a＞0＞b，我们可以判断A中不等式与D中不等式的真假，令c=0，我们可以判断B中不等式的真假，根据不等式的性质可得|a|≥
a，进而根据不等式的基本性质可判断C中不等式的真假，进而得到答案．
【解答】解：若a＞0＞b，则有，故A不正确；
若c=0，则当a＞b时，有a|c|=b|c|，故B不正确；
由|a|≥a，若a＞b，则有|a|＞b，故C正确；
若a＞0＞b，则有，故D不正确；
故选C
10．不等式组表示的平面区域面积是（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件式组所表示的可行域，要求所表示的平面区域的面积就是图中三角形所在区域面积，求解即可．
【解答】解：不等式组式组所表示的平面区域就是图中阴影部分，
它所在平面区域的面积，等于图中阴影部分面积，
其图形是一个三角形．其中A（1，0），B（0，1），C（1，1）
∴S=×1×1=．
故选A．
11．集合A={x|x2+2x＞0}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣2） C．R D．（﹣3，﹣2）∪（0，1）
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．
【解答】解：A={x|x2+2x＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），B={x|x2+2x﹣3＜0}=（﹣3，1），
则A∩B=（﹣3，﹣2）∪（0，1），
故选：D
12．若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】由已知，求出a，c，确定f（x），再求出y=f（﹣x）的解析式，确定图象．
【解答】解：由已知得，﹣2，1是方程ax2
﹣x﹣c=0的两根，分别代入，解得a=﹣1，c=﹣2．∴f（x）=﹣x2﹣x+2．从而函数y=f（﹣x）=﹣x2+﹣x+2=﹣（x﹣2）（x+1）
它的图象是开口向下的抛物线，与x轴交与（﹣1，0）（2，0）两点．
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）
13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为 ﹣1 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立，解得A（0，1）．
∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．
故答案为：﹣1．
14．在△ABC中，∠A=30°，∠C=120°，，则AC的长为 6 ．
【考点】正弦定理．
【分析】利用已知及三角形内角和定理可求∠B，利用正弦定理即可求值得解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=120°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=30°，
∴由正弦定理可得：AC===6．
故答案为：6．
15．已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠1），则该数列的前n项和Sn= Sn=（q≠1）或Sn=q（q≠1） ．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由等比数列的通项公式可知：an=a1qn﹣1，等比数列的前n项和公式Sn=（q≠1），或Sn=q（q≠1）．
【解答】解：由等比数列的通项公式可知：an=a1qn﹣1，
由等比数列的前n项和公式可知：Sn=（q≠1），或Sn=q（q≠1），
故答案为：Sn=（q≠1）或Sn=q（q≠1）．
16．比较x2+5x+6与2x2+5x+9的大小．
【考点】不等式比较大小．
【分析】作差，与0比较，即可得到结论．
【解答】解：2x2+5x+9﹣（x2+5x+6）=x2+3≥3．
∴x2+5x+6＜2x2+5x+9．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解关于x的不等式：
（1）3x2﹣7x＞10
（2）．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】（1）将不等式一边化为0，分解因式，解之；
（2）将不等式等价转化为整式不等式解之即可．
【解答】解：（1）原不等式可化为：3x2﹣7x﹣10＞0
则方程3x2﹣7x﹣10=0的两根为x1=，x2=﹣1
∴不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}
（2）原不等式等价于（x﹣1）（2x+1）≤0且2x+1≠0
则方程（x﹣1）（2x+1）=0的两根为x1=，x2=1
∴不等式的解集为{x|＜x≤1}
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=，A=30°．
（1）求sinB的值；
（2）求cosC的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由已知及正弦定理即可解得sinB的值．
（2）由B的范围及特殊角的三角函数值可求B的值，利用三角形内角和定理可求C的值，进而可求cosC的值．
【解答】解：（1）由正弦定理得：，由a=1，b=，A=30°，
代入公式，即=，解得sinB=，
（2）由（1）知，B=60°，或120°，
∴C=180°﹣A﹣B=90°，或30°，
∴cosC=0或．
19．等差数列{an}中，已知a2=3，a7=13．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列前8项和S8的值．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）由等差数列的通项公式先求出首项与公差，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由首项和公差，利用等差数列前n项和公式能求出数列前8项和S8的值．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为d
∵a7=13，a2=3，
∴a7﹣a2=5d=10
∴d=2，又a1=1
∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）*2=2n﹣1
（2）由（1）知：a1=1，d=2，
∴S8=8×1+=64．
20．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1且a1，a3，a9，成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）设数列{an}的公差为d≠0．由a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32=a1•a9，即（1+2d）2=1×（1+8d），解出d即可得出通项公式．
（2）根据等比数列和等差数列的前n项和公式，分组求和即可．
【解答】解：（1）：设数列{an}的公差为d≠0．
∵a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，
∴a32=a1•a9，即（1+2d）2=1×（1+8d），
∴4d2=8d，
∵d≠0，∴d=1．
∴an=a1+（n﹣1）=1+n﹣1=n．
（Ⅱ）∵+an=2n+n，
∴数列的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+
21．如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD的长为x米 （2≤x≤6）．
（1）用x表示墙AB的长；
（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y（元）表示为x（米）的函数；
（3）当x为何值时，墙壁的总造价最低？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）由AB•AD=24，得AD=x，可得AB；
（2）墙壁的总造价函数y=1000×，整理即可；
（3）由基本不等式，可求得函数y=3000的最小值及对应的x的值．
【解答】解：（1）根据题意，由AB•AD=24，得AD=x，∴（米）；
（2）墙壁的总造价函数y=1000×=3000（其中2≤x≤6）；
（3）由y=3000≥3000×2=24000，当且仅当，即x=4时取等号；
∴x=4时，y有最小值为24000；所以，当x为4米时，墙壁的总造价最低．
22．已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）．
（1）若对于所有实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）若对于m∈[﹣2，2]不等式恒成立，求x的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）等价于mx2﹣2x+（1﹣m）＜0对任意实数x恒成立，分m=0和m
≠0两种情况讨论，再利用大于0恒成立须满足的条件：开口向上，判别式小于0来解m的取值范围．
（2）等价于（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）＜0在[﹣2，2]上恒成立，利用一次函数要么为增函数，要么为减函数两种情况分别讨论即可．
【解答】解：（1）原不等式等价于mx2﹣2x+（1﹣m）＜0对任意实数x恒成立
当m=0时，﹣2x+1＜0⇒x不恒成立
∴，
∴m无解．故m不存在．
（2）设f（m）=（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）
要使f（m）＜0在[﹣2，2]上恒成立，当且仅当
⇔
∴
∴x的取值范围是{x|}